Analisi - discontinuità delle funzioni

[fra17]

ciao. mi aiutate a fare questi esercizi???

y= [log(1+x)]/x

y= [1-cosx]/[cosx-cos2x]

bisogna trovare la discontinuità (1°, 2° o 3° specie)

[issima90]

cioè?? io so che il limite per x-->0 nel primo è y=1

[plum]

intanto vedi quando queste funzioni non esistono: la prima non esiste per x=0. vedi allora cosa succede per

[math]lim_{x\to0^+}\frac{log(1+x)}x[/math]

e

[math]lim_{x\to0^-}\frac{log(1+x)}x[/math]

entrambi sono limiti notevoli e tendono a 1. la discontinuità è di 3° tipo

nella seconda i valori critici sono quelli per cui cos x-cos 2x=0 e cioè 2cos^2 x-cos x-1=0

chiamato cos x=t ottieni 2t^2-t-1=0 ovvero t=1 e t=-1/2, e cioè x=0+2kpi oppure x=2/3 pi+2kpi oppure x=4/3 pi+2kpi. per questi valori devi studiare il limite destro e quello sinistro. ricorda che stai studiando il limite per quelle x che rendono 0 il denominatore; poichè vai a vedere cosa succede per le x molto vicine ai valori prima detti, non devi preoccuparti se il denominatore è uguale a 0; ricorda quindi che

[math]\frac{1-\cos x}{\cos x-\cos 2x}=\frac{1-\cos x}{\cos x-(2\cos^2 x-1)}=\frac{1-\cos x}{(2\cos^2 x+1)(1-\cos x)}=\frac1{2\cos^2x+1}[/math]

[fra17]

nel primo esercizio oltre alla soluzione x=0 di 3°specie, mi dà anche x=-1 di 2°specie. questo nn ho capito

[issima90]

scusate..non avevo capito perchè non fo ancora fatto le derivate!!

[fra17]

nn sono le derivate

[plum]

per questo serve uno che ne sappia più di me di queste cose, perchè le ho appena iniziate. cmq per x

[xico87]

guardate bene la definizione di discontinuità di seconda specie: il limite della funzione può anche non esistere in un intorno, quindi è corretta la soluzione

[the.track]

Le discontinuità per prima cosa le trovi dove la funzione non esiste, ossia in quei punti esclusi dal campo di esistenza. Quindi se vogliamo trovare le discontinuità calcoliamo per prima cosa il CE:
y= [log(1+x)]/x
Sappiamo che un denominatore non può mai essere uguale a zero quindi:
x‡0
poi sappiamo che un argomento di logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero perciò:
1+x>0
x>-1
unendo i due risultati abbiamo che il campo di esistenza è:
x>-1 V x‡0
adesso in questi punti calcoliamo i limiti dove necessario:
1) Per x che tende a -1 da sinistra non ha senso in quanto la funzione non esiste;
2) Per x che tende a -1 da destra il limite tende a +infinito in quanto ti ritrovi con log0/-1 che vale +infinito
3) Per x che tende a zero da sinistra il limite tende a + infinito se non ho sbagliato i conti anche se mi sembra abbastanza plausibile visto il grado della funzione al numeratore rispetto a quella del denominatore.
4) Per x che tede a zero da destra il limite tende a -infinito.

A questo punto possiamo evidenziare i vari tipi di discontinuità presenti:

1) Per x=-1 non abbiamo discontinuità in quanto come ha sottolineato plum non abbiamo un limite da sinistra.
2) Per x=0 abbiamo una discontinuità di 2° specie perché la funzione tende a infinito.

Spero di essere stato chiaro. :hi

[xico87]

no, la discontinuità la trovi dove la funzione esiste: dove nn esiste non ha senso parlare di discontinuità. per inciso, ho sbagliato proprio questo all'orale di analisi :lol
per darti l'idea, f(x) = 1/x è una funzione continua

edit
mi accorgo ora che aveva sbagliato pure plum: in 0 non c'è discontinuità nel primo esercizio

[the.track]

xico non ho capito dove ho sbagliato. :(:(

Se ho sbagliato in maniera colossale dimmelo che cancello altrimenti potrebbe fare confusione il richiedente di aiuto.
Grazie

[xico87]

una funzione si dice continua nel suo dominio se dato c punto di accumulazione (appartenente al dominio) vale

[math] \lim_{x \to c} f(x) = f(c) [/math]

(oppure in un punto isolato, sempre appartenente al dominio.. diciamo che qsta è una situazione più rara)

uno dei quesiti nel compito per l'orale che ho fatto, chiedeva di scrivere una funzione discontinua in un punto, e io guada caso ho scritto 1/x discontinua in 0: ma 0 non appartiene al dominio, ovvero lì la funzione non esiste. quindi non posso dire che è discontinua, perchè parlo di continuità ma relativamente al dominio

ps: è un errore che fanno tutti

edit: a rigor di logica non dovrebbe essere dscontinua nemmeno in x = -1 dato che in tale punto il logaritmo non esiste.. quindi è sempre continua.. quindi il libro dà delle soluzioni sbagliate

[Cherubino]

xico87:
no, la discontinuità la trovi dove la funzione esiste: dove nn esiste non ha senso parlare di discontinuità. per inciso, ho sbagliato proprio questo all'orale di analisi :lol
per darti l'idea, f(x) = 1/x è una funzione continua

Ragazzi, un po' di precisione!
Dire che una funzione è continua o non continua non ha senso se non si esprime l'intervallo che consideriamo:
1/x è continua in (0, +infinito)
1/x è continua in (-infinito, 0)
1/x NON è continua in (-infinito, +infinito).

Inoltre, citando dall'enciclopedia libera:

Si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali di variabile reale f un punto appartenente al dominio di definizione di f ma in cui f non è continua.
Comunemente, viene considerato punto di discontinuità anche un punto che non appartiene al dominio di f, ma appartiene alla parte interna della chiusura di f (in pratica un punto per cui abbia senso definire un limite destro e un limite sinistro di f).

In particolare, presa una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b] (tranne al più in x0) e considerando un punto x0 appartenente allo stesso intervallo, la funzione presenterà in quel punto:

1. una discontinuità di prima specie (o punto singolare) se il valore del limite destro per x tendente a x0 è diverso dal valore del limite sinistro (graficamente la funzione presenterebbe un salto)
2. una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti per x tendente a x0 è infinito (sia positivo che negativo) oppure non esiste.
3. una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) se esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per x tendente a x0 ma il loro valore è diverso da f(x0) o x0 non è nel dominio della funzione.

[xico87]

1/x E' continua da -infinito a +infinito (quindi è sempre continua, indipendentemente dall'intervallo che prendi).. guarda è stato l'unico errore che ho fatto, me lo ricordo per quello.. e se guardi la definizione ti accorgi che è vero, perchè c (pto di accumulazione) deve essere all'interno del dominio.. in x=0 NON è definita.

Cherubino:Comunemente, viene considerato punto di discontinuità anche un punto che non appartiene al dominio di f

è quel "comunemente" che ti frega, lo pensavo pure io.. ma la definizione è ben diversa

[plum]

effetivamente questo punto non è molo chiaro: il mio libro dice che x^2+1/x+1 è dicontinua in x=-1, mentre la mia prof da ragione a xico, dicendo che se una funzione non esiste in un punto c, non può essere discotinua in quel punto.

[the.track]

Mi rivolgo ai moderatori e company: se ritenete che il mio intervento non sia appropriato o sia errato in qualche sua parte toglietelo senza farvi troppi problemi. Grazie.

[xico87]

giorgio non preoccuparti, anche perchè se nn avessi visto il tuo post non mi sarei preoccupato di chiarire questa cosa perchè non ci avevo dato molta importanza. cmq alle superiori si svolgono in quel modo, quindi è corretta la tua osservazione.
la teoria dà formalmente ragione a me, poi in qualsiasi testo che non sia di analisi troverete scritto che una funzione è discontinua anche dove non esiste. alla fine è solo una pignoleria.

punto secondo: prima ho scritto che 1/x è continua da - a +infinito, dando per scontato che essendo continua nel suo campo di esistenza è continua in qualsiasi intervallo. ma formalmente è una puttanata: una funzione è continua o discontinua solo nel suo dominio, tutto quello che succede fuori dal dominio non riguarda nè continuità nè discontinuità