Analisi di una funzione - derivata di valore assoluto
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si consideri la funzione seguente : $(1+|x|+x^2)$ e si determini.
1) dominio - risposta $R$
2) Minimo globale
3) si scriva f nella forma $f(x) = g(|x|)$ con $g: R rarr R$ con g di grafico noto
per il minimo globale ho fatto semplicemente la derivata prima che risulta $1+2x$
studiando il segno a me risulta un minimo in $x=-1/2$
ma la risposta 2) del prof è un altra :
$f(x)>=1 = f(0)$ per ogni $x in R$. Dunque $minf_(Df) = 0$ con punti di minimo $x_m=0$
la terza non ho capito assolutamente nulla di cosa vuole
risposta 3)
$g(x)=1+x+x^2$
Grazie mille
.si consideri la funzione seguente : $(1+|x|+x^2)$ e si determini.
1) dominio - risposta $R$
2) Minimo globale
3) si scriva f nella forma $f(x) = g(|x|)$ con $g: R rarr R$ con g di grafico noto
per il minimo globale ho fatto semplicemente la derivata prima che risulta $1+2x$
studiando il segno a me risulta un minimo in $x=-1/2$
ma la risposta 2) del prof è un altra :
$f(x)>=1 = f(0)$ per ogni $x in R$. Dunque $minf_(Df) = 0$ con punti di minimo $x_m=0$
la terza non ho capito assolutamente nulla di cosa vuole
risposta 3)
$g(x)=1+x+x^2$
Grazie mille
Risposte
La derivata non è quella, esiste la derivata in $x=0$?
La derivata è formalmente
$(df)/dx = abs(x)/x+2x$
che come indicato da Alex non è definita in x=0. Per x>0 la derivata diventa 1+2x che non si annulla mai e lo stesso accade per x<0 visto che la funzione è pari. Rimane solo da controllare il punto angoloso x=0, che per i ragionamenti fatti dal tuo professore risulta di minimo assoluto.
Per il terzo punto riscrivendo la funzione in questo modo
$f(x) = 1+abs(x) + (abs(x))^2$
si vede subito che $g(x) = 1+x+x^2$ in quanto $f(x)=g(abs(x))$
$(df)/dx = abs(x)/x+2x$
che come indicato da Alex non è definita in x=0. Per x>0 la derivata diventa 1+2x che non si annulla mai e lo stesso accade per x<0 visto che la funzione è pari. Rimane solo da controllare il punto angoloso x=0, che per i ragionamenti fatti dal tuo professore risulta di minimo assoluto.
Per il terzo punto riscrivendo la funzione in questo modo
$f(x) = 1+abs(x) + (abs(x))^2$
si vede subito che $g(x) = 1+x+x^2$ in quanto $f(x)=g(abs(x))$
"ingres":
che come indicato da Alex non è definita in x=0. Per x>0 la derivata diventa 1+2x che non si annulla mai e lo stesso accade per x<0 visto che la funzione è pari.
Dove per "la stessa cosa" intendi $-1+2x$?
"ghira":
Dove per "la stessa cosa" intendi −1+2x?
SI, f(x) è pari e quindi il comportamento per x<0 è simmetrico rispetto all'asse delle y.
In particolare per x<0 la derivata diventa $(df(x))/dx=-1+2x$ che di nuovo non si annulla mai.
"ingres":
La derivata è formalmente
$(df)/dx = abs(x)/x+2x$
Grazie, non sapevo come fare la derivata del valore assoluto; (ps c'è una dimostrazione del perchè il $abs(x)$ restituisce $abs(x)/x$ come derivata prima?)
Se prendo pertanto la parte positiva delle x non ho mai la derivata prima che risulta essere pari a zero, idem per la parte negativa. Quindi sapendo che i massimi e minimi non ci sono solo dove la derivata prima si annulla, ma anche nei punti di non derivabilita, allora come mi hai indicato dovrei controllare pure quelli. Quindi x=0 punto di non derivabilita'.Ps. Come hai fatto però a capire che era un punto angoloso e non una cuspide?
grazie
"Marco1005":
ps c'è una dimostrazione del perchè ...
Poichè vale -1 per x<0 e 1 per x>0 e lo stesso vale per il rapporto in questione, si può scrivere subito
$(d abs(x))/dx = abs(x)/x = x/abs(x)$
vedi anche https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value
Se vuoi una dimostrazione più formale ti posso proporre ad es. questa
$x^2 = abs(x)^2$
derivando avremo
$2x = 2abs(x)*(d abs(x))/dx$ da cui segue subito la formula.
"Marco1005":
Ps. Come hai fatto però a capire che era un punto angoloso e non una cuspide?
Il limite destro e sinistro del rapporto incrementale esistono finiti (basta vedere comunque la derivata) ma sono diversi (-> punto angoloso). Per essere una cuspide devono tendere a infinito. Comunque per x piccolo la funzione tende a comportarsi come $1+abs(x)$ e il valore assoluto è il tipico esempio di punto angoloso.
https://it.wikipedia.org/wiki/Punto_angoloso
"ingres":
Per il terzo punto riscrivendo la funzione in questo modo
$f(x) = 1+abs(x) + (abs(x))^2$
si vede subito che $g(x) = 1+x+x^2$ in quanto $f(x)=g(abs(x))$
Sinceramente, anche a me il terzo punto non è chiaro per niente.
Se $f(x)$ è $f(x)=1+|x|+x^2$ (e non potrebbe essere altrimenti dato che è l'unica che c'è
) allora $f(x)=g(|x|)$ implica $f(x)=1+|x|+x^2=g(|x|)$No?
"axpgn":
Sinceramente, anche a me il terzo punto non è chiaro per niente
Non capisco le tue perplessità. Premesso che $x^2 = (abs(x))^2$, presa
$g(x) = 1+x+x^2$
risulta
$g(abs(x)) = 1+abs(x) + (abs(x))^2 = 1+abs(x)+x^2 = f(x)$
Non c'entra niente, io ne faccio un discorso di pura comprensione del testo.
Scritto così significa quello che ho scritto nel post precedente; non è affatto chiaro cosa viene richiesto; a mio parere, ovviamente.
Scritto così significa quello che ho scritto nel post precedente; non è affatto chiaro cosa viene richiesto; a mio parere, ovviamente.
Sul fatto che il testo sia chiaro o meno, ovviamente si può disquisire.
Il significato della richiesta è però meno sibillino di quello che appare. Fare $g(abs(x))$ significa prendere la funzione g(x) per x>0 e renderla simmetrica rispetto all'asse delle y (cioè renderla una funzione pari). Quindi la richiesta equivale a chiedere quale funzione g(x) per x>0 posso prendere tale che resa simmetrica sia uguale ad f(x)?
Messa in questi termini visto che risulta $f(x) = 1+x+x^2$ per x>0, la risposta è molto semplice e immediata.
Comunque, torno a ripetere, la comprensibilità o meno di un testo di un problema è sempre opinabile.
Il significato della richiesta è però meno sibillino di quello che appare. Fare $g(abs(x))$ significa prendere la funzione g(x) per x>0 e renderla simmetrica rispetto all'asse delle y (cioè renderla una funzione pari). Quindi la richiesta equivale a chiedere quale funzione g(x) per x>0 posso prendere tale che resa simmetrica sia uguale ad f(x)?
Messa in questi termini visto che risulta $f(x) = 1+x+x^2$ per x>0, la risposta è molto semplice e immediata.
Comunque, torno a ripetere, la comprensibilità o meno di un testo di un problema è sempre opinabile.
"ingres":
Il limite destro e sinistro del rapporto incrementale esistono finiti (basta vedere comunque la derivata) ma sono diversi (-> punto angoloso).
Grazie mille. per fare una prova un pò piu spartana visto che il punto in questione è $x=0$ potrei prendere quanto vale la derivata un pò prima di 0 e un pò dopo no?
tipo $x=0,1$ e $x=-0,1$
il risultato quando x vale 0,1 è $abs(0,1)/(0,1)+2(0,1)=1,2$ che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nell'intorno destro
il risultato quando x vale -0,1 è $abs(-0,1)/(-0,1)+2(-0,1)=-1,2$ che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nell'intorno sinistro.
valori diversi ma finiti = punto angoloso
Può andare?
Grazie
"Marco1005":
Grazie mille. per fare una prova un pò piu spartana visto che il punto in questione è x=0 potrei prendere quanto vale la derivata un pò prima di 0 e un pò dopo no?
Si, in pratica è un metodo numerico approssimato di calcolare la derivata destra e sinistra.
"ingres":
Sul fatto che il testo sia chiaro o meno, ovviamente si può disquisire.
Sì ma è altamente auspicabile che il testo di un esercizio sia chiaro e non ambiguo, no?
Beato te che hai compreso cosa intendesse dire ma io continuo a ritenere che scritta così non è chiara affatto.
Era così difficile scrivere "Data la funzione $f(x)=...$, determinare una funzione $g(x)$ tale che $g(|x|)=f(x)$"?
"axpgn":
"Data la funzione f(x)=..., determinare una funzione g(x) tale che g(|x|)=f(x)"
Sicuramente più chiaro
ma io più che altro non ho capito il senso della domanda. Trova una funzione g(x) tale che la $f(x)$ sia $g(abs(x))$ - quindi metto il valore assoluto a tutto quello che faceva parte della f(x) ma a che pro?. A cosa mi serve? 
3) si scriva f nella forma $f(x) = g(|x|)$ con $g: R rarr R$ con g di grafico noto
poi sinceramente quando vedo $g: R rarr R$ non ne capisco il senso. Cioè non riesco proprio a interpretare cosa significa $g:R rarr R$
poi sinceramente quando vedo $g: R rarr R$ non ne capisco il senso. Cioè non riesco proprio a interpretare cosa significa $g:R rarr R$
"Marco1005":
non ho capito il senso della domanda....A cosa mi serve?
Cerco di dare un senso, anche se trattandosi di un esercizio alla fine non è necessario che lo abbia.
$g(x) = 1+x+x^2$ è una funzione abbastanza nota perchè è una parabola, facile da disegnare e studiare, e questo chiarisce il senso di
"Marco1005":
g di grafico noto
definita in tutto $RR$ e questo è il senso di $g: RR to RR$
Dire che si può scrivere $f(x)=g(abs(x))$ significa che posso disegnare il pezzo di parabola per x>0 e poi disegnare il grafico simmetrico all'asse y per x<0 e con questo ottenere il grafico di f(x), evitandomi di studiare f(x).
"Marco1005":
Cioè non riesco proprio a interpretare cosa significa $g:R rarr R$
Dominio e codominio della funzione, è il modo in cui andrebbe sempre definita una funzione ovvero prima definisci dominio e codomio della funzione ($f: RR -> RR$) e poi la legge di corrispondenza ($f(x)=x^2+3$ per esempio).
Che poi il modo formale è un altro ancora, con la freccia con trattino iniziale verticale ma dato che non ricordo bene, lascio perdere
Si la definizione formale l'ho vista nelle dispense universitarie. Ma mai usata
grazie come sempre
grazie come sempre
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