Analisi 1 - Studio di funzione - limite

[the.track]

Eccomi a ritormentarvi.

Ho la mia bella f(x):

[math]f(x)=(|x|-1)\cdot e^{\frac{1}{x+1}}[/math]

Ecco il mio limite è questo:

[math]\lim_{x\right -1^+}\; (|x|-1)\cdot e^{\frac{1}{x+1}}[/math]

Che posso scrivere:

[math]\lim_{x\right -1^+}\; (-x-1)\cdot e^{\frac{1}{x+1}}[/math]

Non riesco a trovare una via di fuga, mi ritrovo sempre in forme indeterminate.

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Pongo:

[math]x=\frac{1-logt}{logt}[/math]

Ottengo:

[math]\lim_{t\right +\infty}\(\frac{logt-1}{logt}-1\)\cdot t[/math]

[math]\lim_{t\right +\infty}\; -\frac{t}{logt}[/math]

De l'Hopital:

[math]\lim_{t\right +\infty}\;\;-\frac{1}{\frac{1}{t}}=\lim_{t\right +\infty}\;\; -t =-\infty[/math]

Yuppi!!

[ciampax]

Ti do una soluzione alternativa senza de l'Hopital: poni

[math]\frac{1}{x+1}=t[/math]

da cui

[math]t\rightarrow +\infty[/math]

e quindi

[math]\lim_{t\rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{t}+1-1\right) e^{t}=
\lim_{t\rightarrow-\infty}-\frac{e^t}{t}=-\infty[/math]

dal momento che

[math]e^t[/math]

è un infinito maggiore di ogni potenza di

[math]t[/math]

.

[the.track]

Ma non dovrei dimostrare che

[math]e^t>t^{\alpha}[/math]

?? O si dà per accertato che

[math]e^t[/math]

sia maggiore delle potenze di

[math]t[/math]

?

Perché anche come l'ho risolto io, alla fine senza usare de l'Hopital, potrei aver detto ugualmente che [math]log(t)

[xico87]

1) quando hai un limite nella forma 0*infinito puoi sempre ricondurti al caso 0/0 o inf/inf e quindi usare l'hopital per la risoluzione. nel tuo esercizio, la sostituzione che ha fatto ciampax non era necessaria anche se era una soluzione elegante: bastava infatti porre -x-1 = 1/[(-x-1)^-1], e dunque ottenevi e^(1/x+1) / (-x-1)^-1. usando l'hopital giungevi alla soluzione. in ogni caso t tende a +inf

2) si dà per noto che la funzione esponenziale cresce più rapidamente di qualsiasi altra funzione, e questo deriva proprio dallo studio dei limiti con l'hopital: le funzioni del tipo a^x non cambiano il loro ordine di infinito neanche derivandole infinite volte, a differenza di qualsiasi altra funzione