Altro studio di sistema
${(x+y=b),(x-2y=-1),(2bx-y=0)$
Calcolo il determinante della matrice completa $4b^2-3b-1=0$
Gli zeri sono $1$ e $-1/4$, quindi devo vedere per questi 2 numeri se il sistema è impossibile, se ammette infinite soluzioni o se ne ammette una:
Da quanto mi risulta, tutti e due i numeri ammettono una singola soluzione. Per $b!=1$ $b!=-1/4$ credo che il sistema sia impossibile perchè sostituendo un numero qualsiasi dentro il paramettro $b$ vediamo che il rango è $3$, cioè è piu altro delle incognite, quindi seguendo quanto dice Rouche capelli dovrebbe essere impossibile....
Cmq
se $b=1$
$Bx$=$((1,1),(-1,-2))=1/3$
(il determinante viene $3$ secondo le prime due righe)
$Bx$=$((1,1),(1,-1))=2/3$
se$b=-1/4$
stesso meccanismo....$Bx=1/2$,$By=-1/4$
Onestamente non sono sicuro che ammetta 2 soluzioni solo, mi sembra di aver dedotto male:|
Calcolo il determinante della matrice completa $4b^2-3b-1=0$
Gli zeri sono $1$ e $-1/4$, quindi devo vedere per questi 2 numeri se il sistema è impossibile, se ammette infinite soluzioni o se ne ammette una:
Da quanto mi risulta, tutti e due i numeri ammettono una singola soluzione. Per $b!=1$ $b!=-1/4$ credo che il sistema sia impossibile perchè sostituendo un numero qualsiasi dentro il paramettro $b$ vediamo che il rango è $3$, cioè è piu altro delle incognite, quindi seguendo quanto dice Rouche capelli dovrebbe essere impossibile....
Cmq
se $b=1$
$Bx$=$((1,1),(-1,-2))=1/3$
(il determinante viene $3$ secondo le prime due righe)
$Bx$=$((1,1),(1,-1))=2/3$
se$b=-1/4$
stesso meccanismo....$Bx=1/2$,$By=-1/4$
Onestamente non sono sicuro che ammetta 2 soluzioni solo, mi sembra di aver dedotto male:|
Risposte
Ciao, provo a sviluppare l'esercizio per intero perché forse può essere interessante.
Scrivendo la matrice completa associata al sistema abbiamo
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1&1&b\\1&-2&-1\\2b&-1&0
\end{array}
\right]
\]
Osservando la matrice incompleta notiamo che il suo rango massimo è $2$, ma notiamo anche che il suo rango è proprio $2$, per qualsiasi valore del parametro $b$ dato che si può sempre estrarre il minore
\[
\begin{bmatrix}
1&1\\1&-2
\end{bmatrix}
\] che è invertibile. A questo punto, affinché il sistema ammetta soluzioni, è necessario che anche il rango della matrice completa sia $2$. Calcoliamo il suo determinante che risulta \(4b^2-3b-1\) e che si annulla per \(b=1\) e per \(b=-\frac{1}{4}\). Quindi questi sono gli unici valori che dobbiamo prendere in considerazione. Infatti se \(b \neq 1, -\frac{1}{4}\) allora il rango della completa è $3$ e il sistema non ammette soluzioni.
Se \(b=1\) la matrice completa diventa
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1&1&1\\1&-2&-1\\2&-1&0
\end{array}
\right]
\]
Eliminiamo la terza riga e risolviamo con un metodo a piacere: si ottiene \(x=\frac{1}{3},\ y=\frac{2}{3}\).
Se \(b = -\frac{1}{4}\) la matrice completa diventa
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1&1&-\frac{1}{4}\\1&-2&-1\\-\frac{1}{2}&-1&0
\end{array}
\right]
\]
Di nuovo eliminiamo la terza riga e risolviamo: otteniamo \(x=-\frac{1}{2},\ y=\frac{1}{4}\).
E questo conclude l'esercizio.
Scrivendo la matrice completa associata al sistema abbiamo
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1&1&b\\1&-2&-1\\2b&-1&0
\end{array}
\right]
\]
Osservando la matrice incompleta notiamo che il suo rango massimo è $2$, ma notiamo anche che il suo rango è proprio $2$, per qualsiasi valore del parametro $b$ dato che si può sempre estrarre il minore
\[
\begin{bmatrix}
1&1\\1&-2
\end{bmatrix}
\] che è invertibile. A questo punto, affinché il sistema ammetta soluzioni, è necessario che anche il rango della matrice completa sia $2$. Calcoliamo il suo determinante che risulta \(4b^2-3b-1\) e che si annulla per \(b=1\) e per \(b=-\frac{1}{4}\). Quindi questi sono gli unici valori che dobbiamo prendere in considerazione. Infatti se \(b \neq 1, -\frac{1}{4}\) allora il rango della completa è $3$ e il sistema non ammette soluzioni.
Se \(b=1\) la matrice completa diventa
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1&1&1\\1&-2&-1\\2&-1&0
\end{array}
\right]
\]
Eliminiamo la terza riga e risolviamo con un metodo a piacere: si ottiene \(x=\frac{1}{3},\ y=\frac{2}{3}\).
Se \(b = -\frac{1}{4}\) la matrice completa diventa
\[
\left[
\begin{array}{cc|c}
1&1&-\frac{1}{4}\\1&-2&-1\\-\frac{1}{2}&-1&0
\end{array}
\right]
\]
Di nuovo eliminiamo la terza riga e risolviamo: otteniamo \(x=-\frac{1}{2},\ y=\frac{1}{4}\).
E questo conclude l'esercizio.
Ciao, bè da quanto vedo il funzionamento delle matrici piu o meno l'ho capito, l'unica cosa che non riesco a capire è che i segni dei risultati non mi tornano, a me viene $Bx=1/2$ mentre a te viene $-1/2$ e $By=-1/4$ mentre a te viene $By=1/4$...non riesco a trovare l'errore che hh fatto
"ramarro":
Ciao, bè da quanto vedo il funzionamento delle matrici piu o meno l'ho capito, l'unica cosa che non riesco a capire è che i segni dei risultati non mi tornano, a me viene $ Bx=1/2 $ mentre a te viene $ -1/2 $ e $ By=-1/4 $ mentre a te viene $ By=1/4 $...non riesco a trovare l'errore che hh fatto
Immagino che ti riferisci alle soluzioni $x=-1/2$ e $y=1/4$ e non ai determinanti $B_x$ e $B_y$.
Concordo con minomic e ti chiedo "hai tenuto conto del segno del determinante dei coefficienti? Nel calcolo di frazioni, a volte ci si dimentica di un segno. Forse il tuo errore è lì.
ok ora è tutt'apposto.....(per igiul:si quando dico $Bx$ e $By$ mi riferisco ai risultati non ai determiananti)...volevo chiedere....mi è venuto un dubbio facendo gli integrali di un esercizio: l'integrale di $0$ è $0$ vero? no perchè nelle regole che ho io non è specificato che $inta=ax$ se $a!=0$
Diciamo che l'integrale di $0$ è una qualsiasi costante $C$.
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