Altro limite notevole
Potete aiutarmi a risolverlo? Grazie 
$lim_(x->0) (2x*senx)/(tg^2x)$
$lim_(x->0) (2x*senx)/(tg^2x)$
Risposte
$lim_(x->0) (2x* sin x)/(sin^2 x) * cos^2 x rarr lim_(x->0) (2x)/(sin x) cos^2 x$ ma $x/(sin x)$ tende a $1$ visto che è il reciproco del limite notevole. In conclusione il limite fa $2$.
Perfetto i passaggi che ho fatto sono giusti, pensavo che fosse sbagliato!!
$x/(sin x)$ quindi da sempre 1??
$x/(sin x)$ quindi da sempre 1??
"Pigreco93":
Perfetto i passaggi che ho fatto sono giusti, pensavo che fosse sbagliato!!
$x/(sin x)$ quindi da sempre 1??
Yes! E questo vale anche per gli altri limiti notevoli: ad esempio se un limite fa $1/2$ il suo reciproco farà $2$.
"minomic":
[quote="Pigreco93"]$x/(sin x)$ quindi da sempre 1??
Yes! [/quote]
Ovviamente se $x->0$
Sono certa che per minomic era sottointeso, spero anche per Pigreco93
"@melia":
[quote="minomic"][quote="Pigreco93"]$x/(sin x)$ quindi da sempre 1??
Yes! [/quote]
Ovviamente se $x->0$
Sono certa che per minomic era sottointeso, spero anche per Pigreco93[/quote]
Sì certo! Anche perchè altrimenti il limite non è più notevole. Comunque sempre meglio precisare!
ne posto un'altro:
$lim_(x->0) (x^2cosx)/(2-2cosx)$
$lim_(x->0) (x^2cosx)/(2-2cosx)$
$(x^2 cosx)/(2-2cosx) = (x^2 cosx)/(2(1-cosx)) = (x^2 cosx)/(2(1-cosx)) (1+cosx)/(1+cosx) = (x^2 cosx (1+cosx))/(2(1-cos^2 x)) = (x^2 cosx (1+cosx))/(2 sin^2 x)$.
Adesso passo al limite scrivendo
$lim_(x->0) (x/(sin x))(x/(sin x))((cosx(1+cosx))/2) = 1$.
Ti torna?
Adesso passo al limite scrivendo
$lim_(x->0) (x/(sin x))(x/(sin x))((cosx(1+cosx))/2) = 1$.
Ti torna?
si mi torna!! mamma mia ne sai troppo!
"Pigreco93":
si mi torna!! mamma mia ne sai troppo!
Dopo un po' ci si fa l'occhio!
$lim_(x->0) (sin (x/6) + 4x)/(x)$ il libro mi dice di risolverlo con il cambiamento di variabile, $y=x/6$
io lo risolto così, vabene lo stesso?
$lim_(x->0) sin (x/6)/x + (4x)/x$
$lim_(x->0) sin (x/6)/((x6)/6) + 4$
$lim_(x->0) (1/6) + 4$
$lim_(x->0) 25/6 = 25/6$
con il cambiamento di variabile invece come sarebbe?
io lo risolto così, vabene lo stesso?
$lim_(x->0) sin (x/6)/x + (4x)/x$
$lim_(x->0) sin (x/6)/((x6)/6) + 4$
$lim_(x->0) (1/6) + 4$
$lim_(x->0) 25/6 = 25/6$
con il cambiamento di variabile invece come sarebbe?
Va benissimo anche così (io avrei fatto come te) tranne che per un particolare "tecnico": non puoi sostituire quella frazione con $1/6$ ma la devi tenere fino in fondo e poi passare al limite una sola volta.
Con il cambio di variabile viene così:
pongo $y=x/6$ per cui quando $x -> 0$ si ha anche $y->0$. Ricavo la $x$, cioè $y=x/6 rarr x=6y$ e sostituisco:
$(sin y + 24y)/(6y) = 1/6*(sin y)/y + 4$. Quando passi al limite ottieni $1/6+4 = 25/6$.
Tutto chiaro?
Con il cambio di variabile viene così:
pongo $y=x/6$ per cui quando $x -> 0$ si ha anche $y->0$. Ricavo la $x$, cioè $y=x/6 rarr x=6y$ e sostituisco:
$(sin y + 24y)/(6y) = 1/6*(sin y)/y + 4$. Quando passi al limite ottieni $1/6+4 = 25/6$.
Tutto chiaro?
Ah faccio una piccola precisazione: nel caso precedente si poteva evitare il cambio di variabile poichè quando la $x$ tendeva a zero anche la $y$ tendeva a zero. Tuttavia vorrei che riflettessi su una cosa:
$lim_(x->0) (sin (1/x))/(1/x) != 1$. Infatti questo limite fa zero!
Il limite notevole non vale perchè l'argomento del seno e la quantità a denominatore devono entrambe tendere a zero, mentre nell'esempio che ti ho appena fatto tendevano entrambe all'infinito!
$lim_(x->0) (sin (1/x))/(1/x) != 1$. Infatti questo limite fa zero!
Il limite notevole non vale perchè l'argomento del seno e la quantità a denominatore devono entrambe tendere a zero, mentre nell'esempio che ti ho appena fatto tendevano entrambe all'infinito!
"minomic":
Va benissimo anche così (io avrei fatto come te) tranne che per un particolare "tecnico": non puoi sostituire quella frazione con $1/6$ ma la devi tenere fino in fondo e poi passare al limite una sola volta.
cioè come?
"Pigreco93":
[quote="minomic"]Va benissimo anche così (io avrei fatto come te) tranne che per un particolare "tecnico": non puoi sostituire quella frazione con $1/6$ ma la devi tenere fino in fondo e poi passare al limite una sola volta.
cioè come?[/quote]
E' una questione di scrittura: avresti dovuto mettere $lim_(x->0) (1/6 (sin (x/6))/(x/6) + 4) = 1/6 + 4$ mentre tu hai scritto $lim_(x->0) (1/6 (sin (x/6))/(x/6) + 4) = lim_(x->0) (1/6 + 4)$.
E' ovvio che hai capito come veniva il limite... è più che altro una questione tecnica!
Evito di aprire un altro topic, sapete come risolverlo? Ci ho provato in tutti i modo
$lim_(x->0) (tgx)/((e^(senx) - cosx) $
$lim_(x->0) (tgx)/((e^(senx) - cosx) $
Hopital!
Non è indispensabile; dividi numeratore e denominatore per $x$ e ricordi che il limite di un quoziente è il quoziente dei limiti. Il numeratore tende ad $1$, mentre il denominatore tende a
$D=lim_(x->0)((e^(sen x)-1)/x+(1-cosx)/x)=lim_(x->0)((e^(sen x)-1)/(senx)*(senx)/x+(1-cosx)/x^2*x)=1*1+1/2*0=1$
Lavorando con carta e penna puoi calcolare numeratore e denominatore assieme; io li ho separati per avere qualcosa di più leggibile al computer.
$D=lim_(x->0)((e^(sen x)-1)/x+(1-cosx)/x)=lim_(x->0)((e^(sen x)-1)/(senx)*(senx)/x+(1-cosx)/x^2*x)=1*1+1/2*0=1$
Lavorando con carta e penna puoi calcolare numeratore e denominatore assieme; io li ho separati per avere qualcosa di più leggibile al computer.
"giammaria":
Non è indispensabile; dividi numeratore e denominatore per $x$ e ricordi che il limite di un quoziente è il quoziente dei limiti. Il numeratore tende ad $1$, mentre il denominatore tende a
$D=lim_(x->0)((e^(sen x)-1)/x+(1-cosx)/x)=lim_(x->0)((e^(sen x)-1)/(senx)*(senx)/x+(1-cosx)/x^2*x)=1*1+1/2*0=1$
Lavorando con carta e penna puoi calcolare numeratore e denominatore assieme; io li ho separati per avere qualcosa di più leggibile al computer.
Verissimo, anche se non capisco come mai Hopital venga a volte snobbato. Non parlo di giammaria o di questo particolare esercizio ma ho l'impressione che spesso si preferiscano i limiti notevoli anche quando questo complica i calcoli. Forse è solo una mia impressione...
Comunque già che ci sono posto anche il procedimento con Hopital:
$lim_(x->0) (tan x)/(e^(sin x) - cos x) = lim_(x->0) (1/(cos^2 x))/(cos x * e^(sin x) + sin x) = 1$.
Credo che sia per non usare un cannone allo scopo di ammazzare un passero. Non è poi raro che l'uso di quel teorema complichi le cose anziché semplificarle ed inoltre quel teorema può essere ancora ignorato da chi inizia lo studio dell'analisi. Personalmente, preferisco sempre usare il metodo più elementare e riservare quelli più sofisticati ai soli casi in cui sono indispensabili o abbreviano molto i calcoli.
"giammaria":
Credo che sia per non usare un cannone allo scopo di ammazzare un passero. Non è poi raro che l'uso di quel teorema complichi le cose anziché semplificarle ed inoltre quel teorema può essere ancora ignorato da chi inizia lo studio dell'analisi. Personalmente, preferisco sempre usare il metodo più elementare e riservare quelli più sofisticati ai soli casi in cui sono indispensabili o abbreviano molto i calcoli.
Capito
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