Altro limite, altra corsa:
Ciao ragazzi ho un problema con questo altro limite 
$lim_(x->+oo) sqrt(1+x^2)(sen(1/x)-1/x)$
$lim_(x->+oo) (sen(1/x)-1/x)/(1/(sqrt(1+x^2)))$
= Hopital
$lim_(x->+oo) ((-cos(1/x)+1)/x^2) /(-x/(1+x^2)^(3/2))$
ho fatto la sostituzione per $y=1/x$
$lim_(y->0) (-cosy+1)/(1/y^2) * (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y)$
$lim_(y->0) (-cosy+1)/(1/y^2) *1/(y^2/y^2)* (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y)$
$lim_(y->0) (-cosy+1)/(y^2) *1/(1/y^4)* (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y)$
$1/2 *( lim_(y->0) (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y^5))$
voi che fareste Hopital ancora?
$lim_(x->+oo) sqrt(1+x^2)(sen(1/x)-1/x)$
$lim_(x->+oo) (sen(1/x)-1/x)/(1/(sqrt(1+x^2)))$
= Hopital
$lim_(x->+oo) ((-cos(1/x)+1)/x^2) /(-x/(1+x^2)^(3/2))$
ho fatto la sostituzione per $y=1/x$
$lim_(y->0) (-cosy+1)/(1/y^2) * (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y)$
$lim_(y->0) (-cosy+1)/(1/y^2) *1/(y^2/y^2)* (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y)$
$lim_(y->0) (-cosy+1)/(y^2) *1/(1/y^4)* (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y)$
$1/2 *( lim_(y->0) (-(1+1/y^2)^(3/2))/(1/y^5))$
voi che fareste Hopital ancora?
Risposte
Dunque...
$lim_(x->+oo) sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)
Osserviamo che $sqrt(1+x^2)=sqrt(x^2(1/x^2+1))=|x|sqrt(1/x^2+1)=xsqrt(1/x^2+1)$
infatti stiamo studiando il comportamento della funzione per $x->+oo$,
e in un intorno di $+oo$ si ha ovviamente $|x|=x$.
Perciò, con la solita notazione di Landau: $sqrt(1/x^2+1)=1+o(1)$ per $x->+oo$ ,
cioè intendiamo dire che $sqrt(1/x^2+1)$ è una quantità che tende a 1 (dato che $o(1)$
è una quantità che tende a 0, $k + o(1)$ sarà una quantità che tende a k), per cui:
$xsqrt(1/x^2+1)=x(1+o(1))$ per $x->+oo$. Inoltre, ovviamente,
$sin(1/x)=1/x(1+o(1))$ per $x->+oo$. Sostituiamo; si ha:
$x(1+o(1))(1/x(1+o(1))-1/x)=(1+o(1))^2-(1+o(1))=1+o(1)-1-o(1)=o(1)-o(1)=o(1).
Quindi, poiché $sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)=o(1)$ per $x->+oo$, concludiamo:
$sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)->0$ per $x->+oo$.
Ricordo che $o(1)$ è un simbolo che si usa per denotare qualsiasi quantità che tenda
a 0, perciò non meravigliarti se ho scritto $o(1)+o(1)=o(1)$, infatti devi vederla
così: una cosa che tende a zero + un'altra cosa che tende a zero, non può
che dare ancora una cosa che tende a zero! E, ugualmente, $o(1)-o(1)=o(1)$ (non fa zero!).
Ancora, qualcosa che tende a 1 elevata al quadrato, è sempre una cosa che tende a 1,
per questo ho scritto $(1+o(1))^2=1+o(1)$ !
Non ti farà comunque male andarti a guardare sul libro (e ovviamente se cerchi
bene si trovano anche su Internet) le regole aritmetiche degli o piccoli.
$lim_(x->+oo) sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)
Osserviamo che $sqrt(1+x^2)=sqrt(x^2(1/x^2+1))=|x|sqrt(1/x^2+1)=xsqrt(1/x^2+1)$
infatti stiamo studiando il comportamento della funzione per $x->+oo$,
e in un intorno di $+oo$ si ha ovviamente $|x|=x$.
Perciò, con la solita notazione di Landau: $sqrt(1/x^2+1)=1+o(1)$ per $x->+oo$ ,
cioè intendiamo dire che $sqrt(1/x^2+1)$ è una quantità che tende a 1 (dato che $o(1)$
è una quantità che tende a 0, $k + o(1)$ sarà una quantità che tende a k), per cui:
$xsqrt(1/x^2+1)=x(1+o(1))$ per $x->+oo$. Inoltre, ovviamente,
$sin(1/x)=1/x(1+o(1))$ per $x->+oo$. Sostituiamo; si ha:
$x(1+o(1))(1/x(1+o(1))-1/x)=(1+o(1))^2-(1+o(1))=1+o(1)-1-o(1)=o(1)-o(1)=o(1).
Quindi, poiché $sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)=o(1)$ per $x->+oo$, concludiamo:
$sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)->0$ per $x->+oo$.
Ricordo che $o(1)$ è un simbolo che si usa per denotare qualsiasi quantità che tenda
a 0, perciò non meravigliarti se ho scritto $o(1)+o(1)=o(1)$, infatti devi vederla
così: una cosa che tende a zero + un'altra cosa che tende a zero, non può
che dare ancora una cosa che tende a zero! E, ugualmente, $o(1)-o(1)=o(1)$ (non fa zero!).
Ancora, qualcosa che tende a 1 elevata al quadrato, è sempre una cosa che tende a 1,
per questo ho scritto $(1+o(1))^2=1+o(1)$ !
Non ti farà comunque male andarti a guardare sul libro (e ovviamente se cerchi
bene si trovano anche su Internet) le regole aritmetiche degli o piccoli.
non ho fatto landau ma mi piace il prodcedimento
In realtà non bisogna aver fatto proprio nulla...
Sto dicendo che basta sapere che con $o(1)$
si indica una qualsiasi quantità che tende a 0,
poi non è importante chi l'abbia usata per primo questa notazione;
quello che serve per capire il procedimento è
solo il fatto che $o(1)$ vuol dire "funzione infinitesima
per x che tende a qualcosa".
Sto dicendo che basta sapere che con $o(1)$
si indica una qualsiasi quantità che tende a 0,
poi non è importante chi l'abbia usata per primo questa notazione;
quello che serve per capire il procedimento è
solo il fatto che $o(1)$ vuol dire "funzione infinitesima
per x che tende a qualcosa".
"fireball":
In realtà non bisogna aver fatto proprio nulla...
Sto dicendo che basta sapere che con $o(1)$
si indica una qualsiasi quantità che tende a 0,
poi non è importante chi l'abbia usata per primo questa notazione;
quello che serve per capire il procedimento è
solo il fatto che $o(1)$ vuol dire "funzione infinitesima
per x che tende a qualcosa".
Gli o piccoli non credo si facciano al liceo...
Sì, ma malgrado lui abbia postato in Medie e Superiori
(e lo fa spesso), fa Economia all'Università (mi pare).
E comunque, non bisogna neppure sapere che $o(1)$
si legge "o piccolo di 1"!!!
Le cose si "complicano" quando si comincia a parlare
di sviluppi di Taylor, allora sì, c'è tutta una parte
teorica dietro, ma per lo svolgimento dell'esercizio,
ripeto che basta tenere conto di 1) il limite notevole
del seno, 2) il fatto che $o(1)$ indica una quantità infinitesima.
STOP.
(e lo fa spesso), fa Economia all'Università (mi pare).
E comunque, non bisogna neppure sapere che $o(1)$
si legge "o piccolo di 1"!!!
Le cose si "complicano" quando si comincia a parlare
di sviluppi di Taylor, allora sì, c'è tutta una parte
teorica dietro, ma per lo svolgimento dell'esercizio,
ripeto che basta tenere conto di 1) il limite notevole
del seno, 2) il fatto che $o(1)$ indica una quantità infinitesima.
STOP.
già, chissa perchè ci spaventa così tanto vedere questi o piccoli. la mia professoressa di matematica dice che sono il mostro degli studenti di ingegneria; forse il concetto è talmente semplice che non ci sembra vero...
ecco il limite di sopra risolto con i miei metodi 'rudimentali':
$lim_(x->+oo)sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)=lim_(x->+oo)|x|sqrt(1+1/x^2)(sin(1/x)-1/x)=lim_(x->+oo)sqrt(1+1/x^2)(sin(1/x)-1/x)/(1/x)=lim_(x->+oo)sqrt(1+1/x^2)(sin(1/x)/(1/x)-1)=0$
ecco il limite di sopra risolto con i miei metodi 'rudimentali':
$lim_(x->+oo)sqrt(1+x^2)(sin(1/x)-1/x)=lim_(x->+oo)|x|sqrt(1+1/x^2)(sin(1/x)-1/x)=lim_(x->+oo)sqrt(1+1/x^2)(sin(1/x)-1/x)/(1/x)=lim_(x->+oo)sqrt(1+1/x^2)(sin(1/x)/(1/x)-1)=0$
Bella risoluzione, complimenti!
Scusami, ma hai per caso Roberta Dal Passo
come professoressa?!?! No perché
dice la stessa identica frase, cioè che sono
il mostro degli studenti di Ingegneria!!! Mah...
Fatto sta che mi sono talmente abituato
all'uso degli o piccoli che ormai è diventata
per me una comodità!
Scusami, ma hai per caso Roberta Dal Passo
come professoressa?!?!
No perchédice la stessa identica frase, cioè che sono
il mostro degli studenti di Ingegneria!!! Mah...
Fatto sta che mi sono talmente abituato
all'uso degli o piccoli che ormai è diventata
per me una comodità!
grazie ragazzi questo sito è fantastico!!!!!
mitico agli la tecnica degli o(1) almeno nel caso non sapessi come fare la tiro fuori(sperando che il prof la capisca).
Si sono studente dell'università di Economia e posto qua perchè mi sembrano semplici e non adatte per l'università ma adesso cambio
Grazie a tutti
mitico agli la tecnica degli o(1) almeno nel caso non sapessi come fare la tiro fuori(sperando che il prof la capisca).
Si sono studente dell'università di Economia e posto qua perchè mi sembrano semplici e non adatte per l'università ma adesso cambio
Grazie a tutti
SIIIII!!! HO la fantastica meravigliosa stupenda sublime eccentrica vanitosa felina professoressa Roberta Dal Passo!! Ma allora anche tu fai ingegneria a tor vergata? e usi il libro con la copertina di lupo alberto?
Certo che faccio Ingegneria a Tor Vergata,
Modelli e Sistemi, primo anno! Certo anche
che ho il libro con la copertina di Lupo Alberto!
Ora però Roberta non c'è... E sono tutti contenti
della sua assenza!
Modelli e Sistemi, primo anno! Certo anche
che ho il libro con la copertina di Lupo Alberto!
Ora però Roberta non c'è... E sono tutti contenti
della sua assenza!
non proprio tutti... a me dispiace un casino, certo, anche che forse non passerò l'esame di analisi, però stic**** preferisco che sopravvive lei... sarebbe una grave perdita per la comunità scientifica europea. con questo scherzetto, quelli che si sono ritrovati a fare l'esame quest'anno sono arrivati a prendere anche 30 -cosa mai vista nella storia del corso della dal passo-, nonostante il test d'esame l'abbia scritto lei.
senti... se sei di modelli e sistemi del primo anno sicuramente ti conosco, almeno di vista.,visto che siete una dozzina. qualche volta vado in mensa con paolo e il suo amico secco moro coi capelli ricci, paolo avrà preso 27 e 30 a analisi I/I e I/II
senti... se sei di modelli e sistemi del primo anno sicuramente ti conosco, almeno di vista.,visto che siete una dozzina. qualche volta vado in mensa con paolo e il suo amico secco moro coi capelli ricci, paolo avrà preso 27 e 30 a analisi I/I e I/II
"micheletv":
già, chissa perchè ci spaventa così tanto vedere questi o piccoli. la mia professoressa di matematica dice che sono il mostro degli studenti di ingegneria; forse il concetto è talmente semplice che non ci sembra vero...
Boh io gli o piccoli li trovo abbastanza innocenti; anzi, da manipolare sono più semplici delle normali espressioni...
si a me piacciono tanto e non vedo l'ora di manipolarli con disinvoltura, ma il mio libro del liceo non spiega affetto la teoria del calcolo differenziale, giusto due paginette e quello dell'università lo spiega troppo avanti, dovrò attendere ancora per un po'....
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