Altro esercizio su circonferenza e tangenti:(
data la circonferenza di equazione: x(sec)+y(sec)-16x-6y+56=0 determinare:
a) le equazioni delle tangenti nei suoi punti A e B di ascissa 4;
b) l'area del quadrilatero avente per vertici i punti A,B il centro C della circonferenza e il punto P di intersezione delle due tangenti;
c) l'equazione della circonferenza circoscritta al quadrilatero ACBP spiegando perchè detto quadrilatero è sicuramente inscrivibile nella circonferenza.
spero qualcuno possa aiutarmi
ciau
a) le equazioni delle tangenti nei suoi punti A e B di ascissa 4;
b) l'area del quadrilatero avente per vertici i punti A,B il centro C della circonferenza e il punto P di intersezione delle due tangenti;
c) l'equazione della circonferenza circoscritta al quadrilatero ACBP spiegando perchè detto quadrilatero è sicuramente inscrivibile nella circonferenza.
spero qualcuno possa aiutarmi
ciau
Risposte
$x^2+y^2-16x-6y+56=0$
Troviamo le coordinate dei punti A e B di ascissa 4:
$(4)^2 + y^2 - 16*4 - 6y + 56 = y^2-6y+8=0$
$y_(1,2)=(6+-sqrt(36-32))/2=>y_(1,2)=4,2$
i due punti sono: $A(4,4)$, $B(4,2)$
Applicando la regola dello sdoppiamento troviamo le tangenti nei due punti:
$4x+4y-16((x+4)/2)-6((y+4)/2)+56=4x+y-8x-32+56=-4x+y+12=>[size=150]y=4x-12[/size]$ "(tangente nel punto A(4,4))"
$4x+2y-16((x+4)/2)-6((y+2)/2)+56=4x+2y-8x-32-3y-6+56=-4x-y+18=>[size=150]y=-4x+18[/size]$ "(tangente nel punto B(4,2))"
Dall'equazione della circonferenza si ha: $(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=r^2$ e, risolvendo:
$x^2-2xx_0+x_0^2+y^2-2yy_0+y_0^2=r^2$; ponendo $-2x_0=a$, $-2y_0=b$, $x_o^2+y_0^2-r^2=c$ e racogliendo i termini, si ricava:
$x^2+y^2+ax+by+c=0$, pertanto il Centro della Circonferenza è:
$C(x_0,y_0)=>C(-a/2,-b/2)=>C(8,3)$
L'intersezione delle rette tangenti è:
${(y=4x-12),(y=-4x+18):}$ da cui (sottraendo membro a membro)
$0=8x-30 => I(x = 15/4, y=3)$
Possiamo procedere:
1) Trovando l'equazione della circonferenza passante per i tre punti $A(4,4)$, $B(4,2)$ e $C(15/4,3)$ e verificare che il centro C(8,3) appartenga alla circonferenza; si ha:
${(16+16-4a-6b+c=0),(16+4-4a-2b+c=0),(225/16+9+15/4a+3b+c=0):}$
2) Trovare il centro della circonferenza circoscritta al quadrilatero (essendo il punto I estremo sinistro del diametro); si ha
$C((x_c+x_i)/2,(y_c+y_i)/2)=C((8+15/4)/2,(3+3)/2)=C(47/8,3)$
calcolare la misura del raggio: $sqrt((8-47/8)^2+(3-3)^2)=17/8$
3) Oppure avendo il raggio e il centro: $(x-47/8)^2+(y-3)^2=(17/8)^2$, che dà:
$x^2+y^2-47/4x-6y+2487/64=0$ e verificare che i punti A, B e il centro C della circonfereza originaria appartengano alla Circonferenza.
Devo andare in piscina per la lezione di nuoto. Devo lasciare. Spero di esserti stato utile. Ciao.
Troviamo le coordinate dei punti A e B di ascissa 4:
$(4)^2 + y^2 - 16*4 - 6y + 56 = y^2-6y+8=0$
$y_(1,2)=(6+-sqrt(36-32))/2=>y_(1,2)=4,2$
i due punti sono: $A(4,4)$, $B(4,2)$
Applicando la regola dello sdoppiamento troviamo le tangenti nei due punti:
$4x+4y-16((x+4)/2)-6((y+4)/2)+56=4x+y-8x-32+56=-4x+y+12=>[size=150]y=4x-12[/size]$ "(tangente nel punto A(4,4))"
$4x+2y-16((x+4)/2)-6((y+2)/2)+56=4x+2y-8x-32-3y-6+56=-4x-y+18=>[size=150]y=-4x+18[/size]$ "(tangente nel punto B(4,2))"
Dall'equazione della circonferenza si ha: $(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=r^2$ e, risolvendo:
$x^2-2xx_0+x_0^2+y^2-2yy_0+y_0^2=r^2$; ponendo $-2x_0=a$, $-2y_0=b$, $x_o^2+y_0^2-r^2=c$ e racogliendo i termini, si ricava:
$x^2+y^2+ax+by+c=0$, pertanto il Centro della Circonferenza è:
$C(x_0,y_0)=>C(-a/2,-b/2)=>C(8,3)$
L'intersezione delle rette tangenti è:
${(y=4x-12),(y=-4x+18):}$ da cui (sottraendo membro a membro)
$0=8x-30 => I(x = 15/4, y=3)$
Possiamo procedere:
1) Trovando l'equazione della circonferenza passante per i tre punti $A(4,4)$, $B(4,2)$ e $C(15/4,3)$ e verificare che il centro C(8,3) appartenga alla circonferenza; si ha:
${(16+16-4a-6b+c=0),(16+4-4a-2b+c=0),(225/16+9+15/4a+3b+c=0):}$
2) Trovare il centro della circonferenza circoscritta al quadrilatero (essendo il punto I estremo sinistro del diametro); si ha
$C((x_c+x_i)/2,(y_c+y_i)/2)=C((8+15/4)/2,(3+3)/2)=C(47/8,3)$
calcolare la misura del raggio: $sqrt((8-47/8)^2+(3-3)^2)=17/8$
3) Oppure avendo il raggio e il centro: $(x-47/8)^2+(y-3)^2=(17/8)^2$, che dà:
$x^2+y^2-47/4x-6y+2487/64=0$ e verificare che i punti A, B e il centro C della circonfereza originaria appartengano alla Circonferenza.
Devo andare in piscina per la lezione di nuoto. Devo lasciare. Spero di esserti stato utile. Ciao.
y=-3 a me risulta cosi....cmq grazie!!!se puoi aiutarmi x l'ultimo punto te ne sarei molto grata!ciau
grazie sei stato molto utile!mi hai risolto un grande problema..grazie ancora!
c'è una discussione tra me e un mio amico su usare o meno la formula dello sdoppiamento all'inizio...xkè lui dice k bisogna usare la formula y-yo=m(x-xo) e poi fare la distanza con il centro x trovare le tangenti...mi sta creando un pò di confusione!:(
In tutta onestà, io queta cosa dello sdoppiamente non me la ricordavo proprio. Io avrie fatto così, che è il metodo con cui discuti con i tuoi amici.
Dall'equazione si ricava che il centro è $C=(8,3)$, e sai che la tangente alla circonferenza in un punto è perpendicolare alla congiungente quel punto con il centro, la cui equazione si trova facilmente con la formula $(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)$, da cui si si ottiene, sostituendo le coordinate dei punti $A=(4,4)$ e $C=(8,3)$, che questa retta è $y=-1/4x+5$, da cui il coefficiente angolare della retta a essa perpendicolare passante per A, che è la retta che stiamo cercando, è $4$. A questo punto abbiamo l'm e un punto, e l'eq di questa tangente si trova facilmente, ottenendo $y-4=4(x-4)$, cioè $y=4x-12$. Analogamente per l'altra tangente.
Dall'equazione si ricava che il centro è $C=(8,3)$, e sai che la tangente alla circonferenza in un punto è perpendicolare alla congiungente quel punto con il centro, la cui equazione si trova facilmente con la formula $(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)$, da cui si si ottiene, sostituendo le coordinate dei punti $A=(4,4)$ e $C=(8,3)$, che questa retta è $y=-1/4x+5$, da cui il coefficiente angolare della retta a essa perpendicolare passante per A, che è la retta che stiamo cercando, è $4$. A questo punto abbiamo l'm e un punto, e l'eq di questa tangente si trova facilmente, ottenendo $y-4=4(x-4)$, cioè $y=4x-12$. Analogamente per l'altra tangente.
La formula dello sdoppiamento si può utilizzare perchè il punto da cui si conduce la retta tangente appartiene alla circonferenza . e' una tecnica molto semplice da utilizzare ; si tratta di sostituire al termine $\x^2$ un termine del tipo $\ x x_0$ ; al termine $\y^2$ un termine del tipo $\yy_0$ ; al termine $\x$ un termine del tipo $\(x+x_0)/2$ e al termine $\y$ un termine del tipo $\(y+y_0)/2$
Ci credo che è semplice, solo che a me al liceo non mi sembra di averla fatta, e detta così sembra quasi che si vuol fare imparare le cose meccanicamente, "sostituisci questo con quest'altro" ecc...sicuramente macina18 sa la motivazione teorica di questo metodo, ma da quello che ho letto mi sembra che giuli abbia bisogno più che altro di lavorare su questi esercizi senza troppi metodi meccanici da sapere, per sviluppare il ragionamento.
E credo che il ricordarsi la perpendicolarità fra la tangente e la congiungente col centro sia il modo più facile, dato che con 2 semplici formulette straconosciute si riesce ad arrivare "lontano".
ciao
E credo che il ricordarsi la perpendicolarità fra la tangente e la congiungente col centro sia il modo più facile, dato che con 2 semplici formulette straconosciute si riesce ad arrivare "lontano".
ciao
"alvinlee88":
Ci credo che è semplice, solo che a me al liceo non mi sembra di averla fatta, e detta così sembra quasi che si vuol fare imparare le cose meccanicamente, "sostituisci questo con quest'altro" ecc...sicuramente macina18 sa la motivazione teorica di questo metodo, ma da quello che ho letto mi sembra che giuli abbia bisogno più che altro di lavorare su questi esercizi senza troppi metodi meccanici da sapere, per sviluppare il ragionamento.
E credo che il ricordarsi la perpendicolarità fra la tangente e la congiungente col centro sia il modo più facile, dato che con 2 semplici formulette straconosciute si riesce ad arrivare "lontano".
ciao
Probabilmente avrai fatto esercizi "solo con la circonferenza". Prova ad applicare il tuo ragionamento "analitico" ad'un'Ellisse, o ad iperboloide spaziale ad'una falda che non ha un centro.
"IvanTerr":
Probabilmente avrai fatto esercizi "solo con la circonferenza". Prova ad applicare il tuo ragionamento "analitico" ad'un'Ellisse, o ad iperboloide spaziale ad'una falda che non ha un centro.
Non so se notare in questo pezzo di post un nonsochè di rancoroso, di scontroso. Che ti ho fatto,Ivan?
1)Non so cosa sia questo fantomatico metodo dello sdoppiamento, se qualcuno me lo può spiegare.... dal poco che ho letto mi sembra di capire c'entri qualcosa con la nozione di derivata: se così è, io sconsiglieri vivamente di usarlo per questi esercizi, dato che si fanno in terza, e in terza di solito la derivata non si fa.
2) Non so cosa intendi con "avrai fatto esercizi solo con la circonferenza". Sono al primo anno di università e ho semplicemente cercato di aiutare, indicando il metodo a mio avviso più "ragionato" e meno meccanico possibile. Quelle cose brutte di cui parli te (iperbolodi...) NON SI FANNO IN TERZA, quindi non sono valide come termine di paragone. Dubito inolte che si spieghi, in terza, la motivazione teorica di questo metodo dello sdoppiamento, e soprattutto che i ragazzi la capiscano: se così è, per me è da abolire perchè è solo un metodo meccanico, e la matematica (che è lungi dall'essere semplice applicazioni di formulette) ,specie a quest'età in cui non è molto amata, non deve mostrarsi in questa veste. Può però daris, ocme ho scritto, che sia una cosa semplice e perfettamente capibile con le nozioni della terza, quindi ormai sono curioso anch'io di sapere di che si tratta.
3) Ovviamente conosco i metodi analitici per lavorare su queste cose, con qualunque curva, ma mi sembrava il problema riguardasse un tipico esercizio di terza: a che pro "sfidarmi" ad applicare il mio virgolettato metodo analitico ad altra roba? Qui si circonferenza si parla...
Non capisco questo astio, Ivan...magari è solo una mia impressione
Ho dato questa impressione? Di sicuro non era questa la mia intenzione. Sostenevo soltanto che mi sembrava un metodo più generale. Tutto qui.
scusatemi non volevo creare una discussione su questo:(
macchè discussione, ci mancherebbe....piuttosto, hai chiarito un pò le idee?
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