Altri test sulla goniometria

[mirk95]

Ciao a tutti...
Ho altri test.. Eccoli:

1. La somma
sen 3/7 pigreco + sen 4/7 pigreco
vale:
A. sen 7/7 pigreco = sen pigreco =0
B. -2 cos pigreco/14.
C. 2 sen pigreco/14.
D. 2 cos pigreco/7.
E. 2 cos pigreco/14.

Allora io so che non bisogna fare la somma di 3/7 + 4/7 ... Solo che allora non so come risolverlo...

2. Una sola delle seguenti uguaglianze è falsa. Quale?
A. sen3x = 2sen3/2x cos3/2x.
B. sen3x = 3senx - 4sen^(3)x.
C. sen3x = + o - radice di (1-cos6x)/2 . [La frazione è tutta sotto radice].
D. sen3x + sen5x = 2sen4x cosx.
E. sen3x - sen5x = 2cos4x senx.

Le ultime due sono vere.. per prostaferesi... Ma le prime tre non so come dimostrarle..

3. Vedere file allegato.


Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente...

[bimbozza]

la risposta corretta è E. infatti dalle formule di prostaferesi:

[math]sen 3 \pi/7 + sen 4 \pi/7 =2sin((3 \pi/7 +4 \pi/7)/2)cos((3 \pi/7-4 \pi/7)/2) \\=2sin(\pi/2)cos((-\pi/14) =2*1*cos(\pi/14)=2cos(\pi/14)[/math]

o se preferisci

[math]sen 3 \pi/7 + sen 4 \pi/7 =cos(\pi/2-4 \pi/7)+cos(\pi/2-3\pi/7)=\\ cos(-\pi/14)+cos(\pi/14)= cos(\pi/14)+cos(\pi/14)=2cos(\pi/14)[/math]

A. sen3x = 2sen(3x/2) cos(3x/2). vera
dalla formula di duplicazione sin2a=2sinacosa
se 2a=3x --->a=3x/2 quindi l'uguaglianza è vera

B. sen3x = 3senx - 4sen^3 x. vera
sen3x = sen(x+2x) = senxcos(2x) + cosxsen(2x) =sinx(1-2sin^2x)+cosx*2sinxcosx=
sinx-2sin^3x+2sinxcos^2x=sinx-2sin^3x+2sinx(1-sin^2x)=sinx-2sin^3x+2sinx-2sin^3x=3sinx-4sin^3x


C.

[math]sen3x = \pm \sqrt{(1-cos6x)/2}[/math]

si rifà alla formula di bisezione. analogamente a quanto svolto nel punto A notiamo che a/2=3x -->a=6x quindi la formula è corretta.


la D e la E si fanno per prostaferesi, ma la E è sbagliata. probabilmente hai scritto che sin(-x)=sinx al posto di sin(-x)=-sinx...

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passiamo all'allegato:
sina=5/13

[math]cos a= \sqrt{1-25/169}=\sqrt{144/169}=12/13[/math]

[math]b=\pi-2a[/math]

[math]sinb=sin(\pi-2a) [/math]

quindi

[math]b=arcsin(sin(\pi-2a))=arcsin(sin2a)=arcsin(2sinacosa)=\\
arcsin(2*5/13*12/13)=arcsin(120/169)[/math]