ALTRI TEOREMI DI GEOMETRIA
dimostrare che:
-ogni trapezio è equiscomponibile con un triangolo di base uguale alla somma delle basi del trapezio e di altezza uguale a quella del trapezio
-ogni poligono regolare è equiscomponibile con un triangolo di base uguale al perimetro del poligono e di altezza uguale all'apotema del poligono (essendo l'apotema l'altezza di uno dei triangolo uguali in cui può essere scomposto il poligono dato unendo il suo centro con i suoi vertici)
-ogni trapezio è equiscomponibile con un triangolo di base uguale alla somma delle basi del trapezio e di altezza uguale a quella del trapezio
-ogni poligono regolare è equiscomponibile con un triangolo di base uguale al perimetro del poligono e di altezza uguale all'apotema del poligono (essendo l'apotema l'altezza di uno dei triangolo uguali in cui può essere scomposto il poligono dato unendo il suo centro con i suoi vertici)
Risposte
Ogni trapezio è equiscomponibile con un triangolo di base uguale alla somma delle basi del trapezio e di altezza uguale a quella del trapezio
Sia dato un trapezio ABCD. Sul prolungamento della basa AB, si prenda il segmento BE congruente alla base CD. Si congiunga D con E e si chiami F il punto in cui tale congiungente taglia BC. Si osservi che il triangolo AED ha come altezza la stessa altezza del trapezio e per base, la somma delle basi del trapezio. Basterà dire che le due figure sono equicomposte.
Considera i due triangoli DCF e FBE. Osservo che:
DC = BE per costruzione
DCF = FBE perchè alterni interni delle rette parallele DC e BE tagliate dalla trasversale CB
CDF = FEB perchè alterni interni delle rette parallele DC e BE tagliate dalla trasversale DE
Per il secondo criterio, si ha DCF = FBE e quindi si deduce DCF equivalente a FBE.
Considero il trapezio ABCD e il triangolo AED. Osservo che:
ABCD è formato da ABFD + DCF
AED è formato da ABFD + FBE
Essendo DCF = FBE e ABDF in comune, ABCD e ADE risultano equicomposti.
Sia dato un trapezio ABCD. Sul prolungamento della basa AB, si prenda il segmento BE congruente alla base CD. Si congiunga D con E e si chiami F il punto in cui tale congiungente taglia BC. Si osservi che il triangolo AED ha come altezza la stessa altezza del trapezio e per base, la somma delle basi del trapezio. Basterà dire che le due figure sono equicomposte.
Considera i due triangoli DCF e FBE. Osservo che:
DC = BE per costruzione
DCF = FBE perchè alterni interni delle rette parallele DC e BE tagliate dalla trasversale CB
CDF = FEB perchè alterni interni delle rette parallele DC e BE tagliate dalla trasversale DE
Per il secondo criterio, si ha DCF = FBE e quindi si deduce DCF equivalente a FBE.
Considero il trapezio ABCD e il triangolo AED. Osservo che:
ABCD è formato da ABFD + DCF
AED è formato da ABFD + FBE
Essendo DCF = FBE e ABDF in comune, ABCD e ADE risultano equicomposti.
Ogni poligono regolare è equiscomponibile con un triangolo di base uguale al perimetro del poligono e di altezza uguale all'apotema del poligono
Sia ABCD il nostro poligono regolare. Essendo regolare, il poligono è circoscrivibile ad una circonferenza di centro O. Traccio le congiungenti O con i vertici del poligono, e ottengo, in questo caso, 4 triangoli. Da O mando la perpendicolare ad AB, ottenendo l'apotema OH (l'apotema è l'altezza di ciascun triangolino: essa risulta perciò uguale per tutti). Traccio una retta s all'esterno del poligono, in maniera che essa non abbia nessun punto in comune con lo stesso poligono. Su questa retta riporto le misure dei lati del poligono, in modo che i segmenti così ottenuti sulla retta siano a due a due adiacenti (Se AB, BC, CD, DA erano i lati del poligono, allora riporto su s AB=MN, BC=NQ, CD=QR e DA=RS. Sulla retta ottengo perciò la successione di segmenti MN-->NQ-->QR-->RS). A partire da un punto qualunque K, si riporti perpendicolarmente alla retta s l'apotema del poligono (Se OH era l'apotema, si avrà sulla retta un segmento PK=OH). Si unisca così il punto P con tutti i vertici dei segmenti precedentemente individuati. Si ottiene così un triangolo che ha per altezza, l'apotema del poligono, e per base, il perimetro (cioè la somma dei lati) del poligono: questo è MSP.
Si considera, così, per la dimostrazione, ciascun triangolino trovato sulla retta (sono ANP, NQP, QRP e RSP) con il rispettivo triangolino in cui era stato diviso il poligono (rispettivamente con ABO, BCO, CDO e DAO). Si osserva che, ciascuna coppia di triangolini ha la stessa base, poichè erano state riportate le loro misure sulla retta s, e per altezza la stessa altezza, in quanto era stata riportata sulla retta s anche la misura dell'apotema del poligono.
Si ha così ANP=ABO, NQP=BCO,QRP=DCO e RSP=DAO.
Si deduce, pertanto, l'equivalenza del trapezio ABCD e del triangolo MSP in quanto equicomposti.
Sia ABCD il nostro poligono regolare. Essendo regolare, il poligono è circoscrivibile ad una circonferenza di centro O. Traccio le congiungenti O con i vertici del poligono, e ottengo, in questo caso, 4 triangoli. Da O mando la perpendicolare ad AB, ottenendo l'apotema OH (l'apotema è l'altezza di ciascun triangolino: essa risulta perciò uguale per tutti). Traccio una retta s all'esterno del poligono, in maniera che essa non abbia nessun punto in comune con lo stesso poligono. Su questa retta riporto le misure dei lati del poligono, in modo che i segmenti così ottenuti sulla retta siano a due a due adiacenti (Se AB, BC, CD, DA erano i lati del poligono, allora riporto su s AB=MN, BC=NQ, CD=QR e DA=RS. Sulla retta ottengo perciò la successione di segmenti MN-->NQ-->QR-->RS). A partire da un punto qualunque K, si riporti perpendicolarmente alla retta s l'apotema del poligono (Se OH era l'apotema, si avrà sulla retta un segmento PK=OH). Si unisca così il punto P con tutti i vertici dei segmenti precedentemente individuati. Si ottiene così un triangolo che ha per altezza, l'apotema del poligono, e per base, il perimetro (cioè la somma dei lati) del poligono: questo è MSP.
Si considera, così, per la dimostrazione, ciascun triangolino trovato sulla retta (sono ANP, NQP, QRP e RSP) con il rispettivo triangolino in cui era stato diviso il poligono (rispettivamente con ABO, BCO, CDO e DAO). Si osserva che, ciascuna coppia di triangolini ha la stessa base, poichè erano state riportate le loro misure sulla retta s, e per altezza la stessa altezza, in quanto era stata riportata sulla retta s anche la misura dell'apotema del poligono.
Si ha così ANP=ABO, NQP=BCO,QRP=DCO e RSP=DAO.
Si deduce, pertanto, l'equivalenza del trapezio ABCD e del triangolo MSP in quanto equicomposti.
grazie mille
Di niente...;)!!!!
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