Altri quesiti

[Sk_Anonymous]

1) Sia $f:X->R$. Vero o falso:
a) $f$ limitata $=>$ $f$ ha max e min (globali);
b) $f$ limitata $<=>$ sup $f in R$ e inf $f in R$;
c) sup $f$ e inf $f$ sono punti di accumulazione $(in R-{0})$ di $f(X)$.
2) Vero o falso:
a) $f$ e $g$ monotone $=>$ $f*g$ e $f+g$ monotone;
b) $f$ e $g$ crescenti(decrescenti) $->$ $f*g$ e $f+g$ crescenti(decrescenti);
c) $f$ crescente $g$ crescente ,$g$ diverso da zero, $=>$ $f/g$ crescente.
3) Sia $f$ tre volte derivabile in $a$. Calcolare il limite:
$lim_(h->0)(f(a+h)-f(a-h)-2hf'(a))/h^3$;
4) Per quale/i tra le seguenti funzioni si può escludere (senza calcoli) l'esistenza di un asintoto obliquo per $x->+infty$ ? Per le altre calcolare l'eventuale asintoto obliquo:
a) $log_(a)(x^3+1)
b) $x(sinx+3)$
c) $(x^3+1)/(x^2+x+1)$
d) $2^x/x$.

[wedge]

"ENEA84":1) Sia $f:X->R$. Vero o falso:
a) $f$ limitata $->$ $f$ ha max e min (globali);

falso, pensa ad una funzione sempre crescente con due asintoti orizzontali (il codominio è un aperto ]a,b[ )

b) $f$ limitata $<->$ sup $f in R$ e inf $f in R$;

oddio. dovrebbero essere vere entrambe le implicazioni visto che R è completo...

c) sup $f$ e inf $f$ sono punti di accumulazione $(in R-{0})$ di $f(X)$.

falsa, se la funzione non è continua... prendi ad esempio
f(x)= 0 per x diverso da 1/2
f(x)= 1 per x = 1/2

[_prime_number]

1.
a) falso: avrà sup e inf perchè R è completo, ma potrebbero non appartenere a X
b) yes!
c) vero ma perchè escludi lo 0?

2.
a) falso. Prendi che f sia descrescente e g crescente... D(f+g) = f' + g' Una sempre negativa, l'altra sempre positiva... Come vedi, sbarella tutto!! Funzione magari in casi particolari
b) falso f,g crescenti f+g è crescente (fai le derivate). D(fg) = f'g + fg'. Metti che sia g crescente ma sempre negativa. f uguale ma sempre positiva. Anche qui non funzione in generale
c) falso, idem come sopra. D(f/g) = (f'g - fg')/g^2



Paola

[wedge]

mmm... non siamo d'accordo sul punto c è sbagliato il mio controesempio?

[_prime_number]

No hai ragionissima tu!!

Ah dare per scontata la continuità! Se legge Luca mi suona alla porta con una mazza da baseball in mano!!!

Sono pentita!!!

Paola

[_nicola de rosa]

4)
solo la c) ha un asintoto obliquo perchè il grado del numeratore è pari a quello del denominatore +1
m=lim(x->+infty)f(x)/x=1 e q=lim(x->+infty)[f(x)-x]=-1 e l'asintoto è y=x-1
la d) non può axere un asintoto obliquo perchè 2^x è un infinito di ordine maggiore rispetto ad x^n (n=2 nel caso nostro)per cui lim(x->+infty)f(x)/x=+infty
la b) nemmeno perchè [f(x)/x]=(sen(x)+3) è una funzione limitata e non ha senso farne il lim(x->+infty)f(x)/x
la a) nemmeno perchè log_a(x^3+1) è un infinito di ordine minore rispetto ad x per cui il lim(x->+infty)f(x)/x=0