Altra Identità da verificare

[danybertana]

Con queste proprio non mi trovo....
Non riesco a verificare neanche questa identità, qualcuno mi da una mano?

$ (cos2alpha +cos3alpha +cos4alpha )/(2cosalpha +1) =cos3alpha $

Come faccio a lavorare sul primo membro con le formule di prostaferesi e/o warner?

[minomic]

Ciao, io partirei utilizzando prostaferesi al numeratore su $$\cos2\alpha + \cos 4\alpha$$

[chiaraotta1]

Se esprimi tutto in funzione di $cos alpha$, ritrovi
$cos2 alpha=2cos^2 alpha-1$,
$cos 3 alpha=cos (2alpha+alpha)=cos2 alpha cos alpha- sin 2 alpha sin alpha=$
$(2cos^2 alpha-1)cos alpha-2sin^2 alpha cos alpha=$
$2cos^3 alpha-cos alpha-2(1-cos^2 alpha) cos alpha=$
$4cos^3 alpha -3cos alpha$,
$cos 4 alpha=cos[2(2alpha)]=2cos^2 2alpha-1=$
$2(2cos^2alpha-1)^2-1=8cos^4 alpha-8cos^2 alpha +1$.
Quindo il numeratore del primo membro è
$cos2alpha +cos3alpha +cos4alpha=$
$2cos^2 alpha-1+4cos^3 alpha -3cos alpha+8cos^4 alpha-8cos^2 alpha +1=$
$8cos^4 alpha+4cos^3 alpha-6cos^2 alpha-3cos alpha=$
$4cos^3 alpha(2cos alpha+1)-3cos alpha(2cos alpha+1)=$
$(4cos^3 alpha-3cos alpha)(2cos alpha+1)=cos 3 alpha(2cos alpha+1)$.
Il primo membro è allora
$(cos2alpha +cos3alpha +cos4alpha )/(2cosalpha +1)=$
$(cos 3 alpha(2cos alpha+1))/(2cosalpha +1)=cos 3 alpha$.