Altra derivata

[Pigreco93]

$y= (1-tg^2x)/(1+tg^2x)$
il risultato è
$y=-2sen2x$

il primo step è giusto:
$y'= (-2tgx(1+tg^2x)^2- (1-tg^2x)2tgx(1+tg^2x))/(1+tg^2x)^2$

raccolgo $(1+tg^2x)$ e ottengo:

$y'= ((1+tg^2x)[-2tgx(1+tg^2x)- (1-tg^2x)2tgx])/(1+tg^2x)^2$

poi semplifico $(1+tg^2x)$ con $(1+tg^2x)^2$ del denominatore è ottengo

$y'= ([-2tgx(1+tg^2x)- (1-tg^2x)2tgx])/(1+tg^2x)$

continuando a svolgere i calcoli però il risultato non torna dove ho sbagliato???

[chiaraotta1]

E' conveniente semplificare la funzione
$y= (1-tg^2x)/(1+tg^2x)$
prima di derivarla (con $x!=pi/2+kpi$):
$y= (1-tg^2x)/(1+tg^2x)= (1-(sin^2x)/(cos^2x))/(1+(sin^2x)/(cos^2x))=(cos^2x-sin^2x)/(cos^2x+sin^2x)=cos2x$.
Da cui
$y'=-2sin2x$.

[Pigreco93]

perfetto, così è molto più veloce.. puoi controllare i calcoli che ho fatto e dirmi dove ho sbagliato? anche così dovrebbe dare

[burm87]

"Pigreco93":
$y'= ([-2tgx(1+tg^2x)- (1-tg^2x)2tgx])/(1+tg^2x)$

$=(-2tgx-2tg^3x-2tgx+2tg^3x)/(1+tg^2x)=(-4tgx)/(1+tg^2x)=(-4sinx/cosx)/((cos^2x+sin^2x)/(cos^2x))=-4sinx/cosx*(cos^2x)/1=-4sinxcosx=$
$=-2*(2sinxcosx)=-2sin(2x)$

[Pigreco93]

qual'è la derivata di:

$ln(x^2-1)^3$

$6x/(x^2-1)$

o

$(6xln^2(x^2-1))/(x^2-1)$

[minomic]

L'elevazione alla terza è relativa al logaritmo o solo al suo argomento? Per intenderci è $$
\ln\left[\left(x^2-1\right)^3\right] \qquad \mbox{oppure} \qquad \left[\ln\left(x^2-1\right)\right]^3\ \ \mbox{?}
$$

[Pigreco93]

"minomic":L'elevazione alla terza è relativa al logaritmo o solo al suo argomento? Per intenderci è $$
\ln\left[\left(x^2-1\right)^3\right] \qquad \mbox{oppure} \qquad \left[\ln\left(x^2-1\right)\right]^3\ \ \mbox{?}
$$

all'argomento..

come si risolve questa?

$y=(4sqrt(x))/x$

che metodo mi consigliate di usare quando ci sono le radici??

[minomic]

Allora andiamo con ordine... Quella con il logaritmo viene così: $$
\frac{1}{\left(x^2-1\right)^3}3\left(x^2-1\right)^2 \cdot 2x =\frac{6x}{x^2-1}.
$$ Quella con la radice si semplifica molto con qualche operazione algebrica: $$
y = \frac{4\sqrt{x}}{x} = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}} = 4\cdot x^{-\frac{1}{2}}
$$ e adesso si deriva immediatamente come una normale $f(x) = x^alpha$.

[Pigreco93]

perfetto
questa invece?
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)$

[chiaraotta1]

[size=150]
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)=-(x^(2/3)+4x)/x^(1/2)=-(x^(2/3-1/2)+4x^(1-1/2))=-(x^(1/6)+4x^(1/2))$.
$y'=-(1/6x^(1/6-1)+4*1/2x^(1/2-1))=-(1/6x^(-5/6)+2x^(-1/2))=-1/(6root(6)(x^5))-2/sqrt(x)$.[/size]

[Pigreco93]

"chiaraotta":[size=150]
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)=-(x^(2/3)+4x)/x^(1/2)=-(x^(2/3-1/2)+4x^(1-1/2))=-(x^(1/6)+4x^(1/2))$.
$y'=-(1/6x^(1/6-1)+4*1/2x^(1/2-1))=-(1/6x^(-5/6)+2x^(-1/2))=-1/(6root(6)(x^5))-2/sqrt(x)$.[/size]

non si vede tutta

[minomic]

"Pigreco93":perfetto
questa invece?
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)$

Possiamo vedere il tuo tentativo, così magari cerchiamo di correggere quello?

[@melia]

Proviamo così

"chiaraotta":
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)=-(x^(2/3)+4x)/x^(1/2)=-(x^(2/3-1/2)+4x^(1-1/2))=-(x^(1/6)+4x^(1/2))$.
$y'=-(1/6x^(1/6-1)+4*1/2x^(1/2-1))=-(1/6x^(-5/6)+2x^(-1/2))=-1/(6root(6)(x^5))-2/sqrt(x)$.

[Pigreco93]

"minomic":[quote="Pigreco93"]perfetto
questa invece?
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)$

Possiamo vedere il tuo tentativo, così magari cerchiamo di correggere quello?[/quote]

$y=[(2/(3 root(3)x) +4).sqrtx -(root(3)(x^2) +4x) (1/(2 sqrtx))]/x$

[minomic]

Manca un segno $-$ davanti a tutta la frazione ma per il resto mi sembra giusta.

[Pigreco93]

"@melia":Proviamo così
[quote="chiaraotta"]
$y= -(root(3)(x^2)+4x)/(sqrtx)=-(x^(2/3)+4x)/x^(1/2)=-(x^(2/3-1/2)+4x^(1-1/2))=-(x^(1/6)+4x^(1/2))$.
$y'=-(1/6x^(1/6-1)+4*1/2x^(1/2-1))=-(1/6x^(-5/6)+2x^(-1/2))=-1/(6root(6)(x^5))-2/sqrt(x)$.

[/quote]
$(x^(2/3-1/2)+4x^(1-1/2))$

non capisco questo passaggio

[minomic]

Proprietà delle potenze: a denominatore c'è $x^(1/2)$ quindi ha sottratto $1/2$ a tutti gli esponenti delle $x$ al numeratore.

PS. La proprietà in questione è $a^b/a^c = a^(b-c)$.