Altezza incalcolabile!
Salve a tutti ragazzi. Ho un problemone con questo esercizio, che dice:
Dato il triangolo ABC di vertici $A(-2; 0)$, $B(1;-3)$, $C(-1;4)$, trova il baricentro G del triangolo A'B'C' simmetrico al primo rispetto a $P(2;1)$. Trova poi l'area di A'B'C' e il suo circocentro G.
Allora, io non ho avuto problemi fino al calcolo del baricentro. Che è $G(14/3; 5/3)$. Ma l'area come faccio a calcolare, non so come trovarmi l'altezza di A'B'C'!
Aiutatemi per favore
Dato il triangolo ABC di vertici $A(-2; 0)$, $B(1;-3)$, $C(-1;4)$, trova il baricentro G del triangolo A'B'C' simmetrico al primo rispetto a $P(2;1)$. Trova poi l'area di A'B'C' e il suo circocentro G.
Allora, io non ho avuto problemi fino al calcolo del baricentro. Che è $G(14/3; 5/3)$. Ma l'area come faccio a calcolare, non so come trovarmi l'altezza di A'B'C'!
Aiutatemi per favore
Risposte
Potresti costruirci attorno un rettangolo.
Eh ho provato ma non ci riesco comunque!
Hai provato cosa, più di preciso? (riguardo il rettangolo)
Ho provato a disegnarmelo. So le coordinate di due vertici del rettangolo (cioè B' e C'), ma i lati del rettangolo come faccio a calcolarli?
Costruiscilo "per dritto" il rettangolo. In questo caso vale a dire che devi avere un vertice in B' (quello in alto a sinistra), mentre A' e C' devono stare sui lati opposti a quel vertice. In questo modo avrai in corrispondenza di ogni lato del triangolo un triangolo rettangolo da sottrarre all'area del rettangolo. E la lunghezza dei lati del rettangolo diventa facile.
Siano $A(x_a;y_a)$, $B(x_b;y_b)$ e $C(x_c;y_c)$ i vertici di un triangolo; l'area di tale triangolo $ABC$ è pari a $|1/2det((x_a,y_a,1),(x_b,y_b,1),(x_c,y_c,1))|$. Se già hai studiato le matrici, questa formula ti può tornare molto utile; in tal modo eviti di ricavare l'altezza.
Se non hai imparato il metodo con le matrici puoi sempre usare la distanza punto-retta, distanza di uno dei vertici dal lato formato dagli altri due.
Se non conosci neppure le rette ti resta solo la formula di Erone.
Se non conosci neppure le rette ti resta solo la formula di Erone.
Ok, grazie a tutti, ce l'ho fatta facendo il rettangolo!
Ma il problemissimo è un altro. Come faccio a trovare il circocentro di un triangolo se abbiamo fatto solo la formula delle distanze di punti, punto medio, baricentro, ed equazione della retta?
Ad esempio. Io ho questo problema (riporto solo la parte finale perché è enorme, ma mi è venuto tutto, tranne l'ultima richiesta):
Dati i punti $A(-2, 2)$ e $B(1,8)$, determina il circocentro di ABD. (Dove, dopo interminabili calcoli, veniva $D(-1, 21/4)$, ordinata alquanto brutta ma corretta).
Ho fatto la figura, ma non riesco proprio a capire come devo fare per trovare le coordinate del circocentro...che so essere il punto d'incontro dei tre assi!
Come faccio?
Ma il problemissimo è un altro. Come faccio a trovare il circocentro di un triangolo se abbiamo fatto solo la formula delle distanze di punti, punto medio, baricentro, ed equazione della retta?
Ad esempio. Io ho questo problema (riporto solo la parte finale perché è enorme, ma mi è venuto tutto, tranne l'ultima richiesta):
Dati i punti $A(-2, 2)$ e $B(1,8)$, determina il circocentro di ABD. (Dove, dopo interminabili calcoli, veniva $D(-1, 21/4)$, ordinata alquanto brutta ma corretta).
Ho fatto la figura, ma non riesco proprio a capire come devo fare per trovare le coordinate del circocentro...che so essere il punto d'incontro dei tre assi!
Come faccio?
Il circocentro è il punto equidistante dai 3 vertici. Prendi un punto generico del piano $P(x_0, y_0)$, le distanze dai 3 vertici devono coincidere $bar(AP)=bar(BP)=bar(DP)$
Oddio, stai scherzando?
Non scherzo mai su queste cose: il centro del cerchio circoscritto è equidistante dai punti sulla circonferenza, quindi anche dai tre vertici del tuo triangolo. 
Wow, non lo sapevo! Grazie @melia, mi hai illuminato in una maniera assurda!
E' grave non sapere questa proprietà in terza liceo scientifico? (La prof del biennio non ce l'ha mai detta!)
E' grave non sapere questa proprietà in terza liceo scientifico? (La prof del biennio non ce l'ha mai detta!)
Io non credo che la tua insegnante del biennio non ti abbia mai parlato del circocentro, che è il punto d'incontro degli assi di un triangolo ed anche il centro della circonferenza circoscritta, e perciò è equidistante dai vertici del triangolo
prova a riguardarti l'argomento e la dimostrazione del teorema
Scusa, ma non mi ero letta tutta la discussione precedente
allora per capire il perchè il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo basta che ti riguardi la dimostrazione, che si basa proprio su questo
prova a riguardarti l'argomento e la dimostrazione del teorema
Scusa, ma non mi ero letta tutta la discussione precedente
allora per capire il perchè il circocentro è equidistante dai vertici del triangolo basta che ti riguardi la dimostrazione, che si basa proprio su questo
Nono, ci ha parlato del circocentro. Ma non mi ricordo ci abbia mai detto questa proprietà. Dovrò andare a rivedere gli appunti di seconda liceo. 
Ora vado a ripassarmelo!
Ora vado a ripassarmelo!
Se non sai scrivere le equazioni degli assi del triangolo, visto che non hai ancora studiato come si scrive l'equazione di una retta perpendicolare a un'altra, l'unico modo è proprio quello di imporre l'equidistanza di un punto generico dai tre vertici del triangolo. Metodo che equivale a trovare il punto di intersezione comune a tre circonferenze. I calcoli non sono così brutti come si potrebbe pensare. Dai che così cominci a familiarizzarti con le circonferenze prima ancora di avere studiato l'argomento 
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