Altezza di un triangolo equilatero

[chiaraparisi]

salve, allora io sto facendo la geometria. Vorrei capire come trovare perimetro, altezza ed area di un triangolo quilatero, cioè le formule base

[carlogiannini]

L'unica cosa particolare del triangolo equilatero è la formuletta per trovare l'altezza conoscendo il lato:

[math]h\ =\ \frac{L}{2}\sqrt3[/math]

.
facile da ricordare:
ELLE MEZZI RADICE DI TRE
che deriva semplicemente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dal lato dall'altezza e META' base (essendo equilatero il lato e la base sono uguali e l'altezza divide la base a META':

[math]h\ =\ \sqrt{L^2-(\frac{L}{2})^2}\ =\ \sqrt{L^2-\frac{L^2}{4}}\ =\ \sqrt{\frac{4L^2-L^2}{4}}\ =\ \sqrt{\frac{3L^2}{4}}\ =\ \frac{L}{2}\sqrt3[/math]

.
Poi il resto è ovvio:
Perimetro = 3L

[math]Area\ =\ \frac{1}{2}*L*\frac{L}{2}\sqrt3\ =\ \frac{1}{4}L^2\sqrt3[/math]

.
ma non serve ricordare questa formula (ce ne sono già troppe da mandare a memoria), basta fare normalmente:

[math]A\ =\ \frac{B*h}{2}[/math]

[chiaraparisi]

grazie mille, ho imparato le formulette, grazie mille gentilissimo

Aggiunto 1 giorno più tardi:

queste formule valgono solo per il triangolo equilatero oppure per tutti i tipi di triangolo? Sul mio libro c'è scritto pure raggio della circonferenza inscritta o circoscritta in un triangolo equilatero? Che uol dire?

[carlogiannini]

La formuletta
ELLE MEZZI RADICE DI TRE
vale solo per il triangolo equilatero o nel caso di un triangolo rettangolo che sia META' triangolo equilatero, cioè con gli angoli acuti di 30 e sessanta gradi. Quindi quando un triangolo rettangolo ha un angolo di 30 o sessanta gradi l'ipotenusa è il doppio del cateto minore e il cateto maggiore lo trovi facendo
META' IPOTENUSA (ELLE MEZZI) PER RADICE DI TRE.
Per quanto riguarda i raggi della circonferenza iscritta e di quella circoscritta (al triangolo equilatero) nemmeno io me le ricordo a memoria (è materialmente impossibile ricordare TUTTE le formule, sono troppe). Preferisco ricavarle volta per volta ragionando.
Il centro della circonferenza iscritta è l'incentro (lo dice la parola ed è punto di incontro delle bisettrici)
Nel triangolo equilatero bisettrici, mediane e altezze coincidono, quindi l'incentro divide l'altezza in due parti di cui quella verso il vertice è il doppio di quella verso la base, quindi il raggio del cerchio iscritto è UN TERZO DELL'ALTEZZA

[math]R_i=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\frac{L}{2}\sqrt3=\frac{1}{6}L\sqrt3[/math]

.
Alcuni libri, tanto per complicarci la vita, questa formula la scrivono:

[math]R_i=\frac{1}{2\sqrt3}L[/math]

.
ma tu fregatene, tanto è uguale (basta moltiplicare numeratore e denominatore per "radice di tre".
Analogamente il raggio della circonferenza circoscritta è l'altro pezzo dell'altezza, cioè:

[math]R_c=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\frac{L}{2}\sqrt3=\frac{1}{3}L\sqrt3[/math]