Allineamento punti

[sbauscina]

VERIFICARE CHE I PUNTI A(1,2) , B($1/2, 7/2$) , C(0,5) SIANO ALLINEATI

ho fatto cosi

1) ho trovato l'equazione retta AB --> $y=-3x+5$
2) ho trovato l'equazione retta BC --> $ y= 3x-10$

Basta con questo... a dire che i punti NON sono allineati?

[codino75]

direi di si', cmq riguarda come ti vengono le rette , perche' secondo come sono mesis i punti dovrebbero venire entrambe le rette con coeff. angolare negativo.

[sbauscina]

si esatto! entrambe con coefficiente negativo..

a qsto punto? ke devo fare?

[codino75]

"Benedetta":si esatto! entrambe con coefficiente negativo..

a qsto punto? ke devo fare?

ricalcola bene le rette che mi siembra siano sbagliate.

[sbauscina]

trovo:

$y=-3x+5$
$y=-3x+20$


Ora?

[codino75]

in parole povere a me vengono allineati.
prova a vedere sul piano cartesiano con u nrighello.
le 2 rette devono venire identiche.

[sbauscina]

si hai ragione!!!!!!!



(arrugginita completamente in qst mesiiiiii) aiutoooo!

[Gaal Dornick]

alcuni punti si dicono allineati se esiste una retta che passa per tutti

per due punti (distinti) passa un'unica retta
se hai tre punti (distinti) hai anche (consideri solo i primi 2) due punti distinti, quindi per questi primi 2 passa un'unica retta.. se supponi che esiste una retta per i tre punti questa dovrà essere per forza quella che passa per i primi 2 (visto che è unica)

quindi: trovi la retta per i primi due; verifichi se passa per il terzo: se passa i punti sono allineati, se non passa non può esistere retta che li contenga tutti e tre

[Sk_Anonymous]

Se interessa anche la condizione di allineamento di 3 punti e' esprimibile
in termini di determinante,Precisamente ,se i 3 punti
sono (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),allora l'allineamento si ha sse (se e soltanto se) risulta:
$((x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1))=0$
Il determinante di cui prima si puo' calcolare elementarmente con la regola di Sarrus
ben nota alle Superiori.
Nel caso nostro deve essere:
$((1,2,1),(1/2,7/2,1),(0,5,1))=0$
ed e' quello che effettivamente accade.
karl

[zorn1]

Brutalmente, la condizione di allineamento di tre punti $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ è, (nel caso i denominatori non si annullino):

$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$ (*)

Proviamo coi tuoi dati:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(5-2)/(7/2-2)=3/(3/2)=2$
$)(x_3-x_1)/(x_2-x_1)=(0-1)/(1/2-1)=-1/(-1/2)=2$

Risultano quindi, per i punti dati, uguali i due membri dell'uguaglianza (*), pertanto i tre punti soddisfano alla condizione di allineamento.

Ciao

[Gaal Dornick]

@ karl
scusami se torno sulle matrici.. ma quindi la dimostrazione è in geometria proiettiva? qui è squisitamente e semplicemente proiettiva.. è così anche nell'altro post?

[Sk_Anonymous]

Non scomoderei la geometria proiettiva:si tratta di semplici calcoli.
Per la condizione di allineamento la dimostrazione discende direttamente
dal calcolo dell'area.infatti ,se i tre punti sono allineati, l'area del triangolo
(degenere) che essi determinano e' nulla ed e' quindi nullo anche il determinante.
Viceversa, se il determinante e' nullo,e' nulla anche l'area e cio' significa che i
3 punti sono allineati.
karl

[Gaal Dornick]

giusto..
ho visto i punti così e m'è subito venuta in mente la geometria proiettiva..

un attimo: ma nella geometria proiettiva c'è la distanza?

[Sk_Anonymous]

Certamente la distanza tra due punti non e' un concetto puramente proiettivo
ma fondare la geometria esclusivamente su nozioni di questo tipo e' impresa...leggermente
complicata !!!
Aggiungo che la condizione di collinearita' di 3 punti si puo' trasformare per dualita'
nella condizione di concorrenza di 3 rette.Precisamente 3 rette concorrono in un punto,ovvero formano fascio,sse e' valida l'eguaglianza:
$((a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3))=0$
dove le "a",le "b" e le "c" sono i coefficienti delle equazioni canoniche delle 3 rette.
karl