Algoritmo di Euclide per polinomi
Ragazzi ho un dubbio sull'utilizzo dell'Algoritmo di Euclide per il calcolo del M.C.D tra polinomi.
Siano dati i due polinomi $n^2+2n+1$ e $n^2+1$.
Adesso:
$n^2+2n+1=1*(n^2+1)+2n$
$n^2+1=(1/2n)(2n)+1$
Quindi $(n^2+2n+1,n^2+1)=(n^2+1,2n)=(2n,1)=1$
Ho sbagliato qualcosa fino a qui?
Però se si pone per esempio $n=3$ nei polinomi iniziali si ottiene $3^2+2*3+1=16$ e $3^2+1=10$, con $(16,10)=2$.
Cosa significa ciò???
Siano dati i due polinomi $n^2+2n+1$ e $n^2+1$.
Adesso:
$n^2+2n+1=1*(n^2+1)+2n$
$n^2+1=(1/2n)(2n)+1$
Quindi $(n^2+2n+1,n^2+1)=(n^2+1,2n)=(2n,1)=1$
Ho sbagliato qualcosa fino a qui?
Però se si pone per esempio $n=3$ nei polinomi iniziali si ottiene $3^2+2*3+1=16$ e $3^2+1=10$, con $(16,10)=2$.
Cosa significa ciò???
Risposte
Che, in un caso particolare, c'è un divisore comune maggiore di quello che si ha nel caso generale.
Ok... Quindi ciò significa che dei risultati del tipo $(n^2+2n+1,n^2+1)=1$, $(y^2-y+1,y+1)=3$ e $(x^6-2x^5+x^4-9x^3+18x^2-9x+1,x^5-x^3-9x^2+9)=41$ in pratica significano la stessa cosa?
(Ho calcolato il MCD con l'Algoritmo per coppie casuali di polinomi senza fattori in comune...)
(Ho calcolato il MCD con l'Algoritmo per coppie casuali di polinomi senza fattori in comune...)
Secondo me il punto è un altro.
Sai qual è la definizione di massimo comune divisore per i polinomi?
Sai qual è la definizione di massimo comune divisore per i polinomi?
"G.D.":
Sai qual è la definizione di massimo comune divisore per i polinomi?
Si tratta del polinomio di grado massimo che divide entrambi i polinomi?
Illustro da dove nasce la mia questione:
se il massimo comune divisore fra due polinomi è $1$, perché il loro prodotto sia un quadrato entrambi i polinomi devono necessariamente essere quadrati.
Se le fattorizzazioni dei due polinomi non presentano elementi in comune, ma se eventualmente i due polinomi possono essere entrambi divisibili per $2$, tale fatto "influenza" l'affermazione precedente?
Chiedo scusa per la pessima espressione in italiano, spero si sia capito però qual era il mio dubbio
La fonte, comunque, è questa:
http://forum.olimato.org/classica-equaz ... t1111.html
se il massimo comune divisore fra due polinomi è $1$, perché il loro prodotto sia un quadrato entrambi i polinomi devono necessariamente essere quadrati.
Se le fattorizzazioni dei due polinomi non presentano elementi in comune, ma se eventualmente i due polinomi possono essere entrambi divisibili per $2$, tale fatto "influenza" l'affermazione precedente?
Chiedo scusa per la pessima espressione in italiano, spero si sia capito però qual era il mio dubbio
La fonte, comunque, è questa:
http://forum.olimato.org/classica-equaz ... t1111.html
"dr00ster":
[quote="G.D."]Sai qual è la definizione di massimo comune divisore per i polinomi?
Si tratta del polinomio di grado massimo che divide entrambi i polinomi?[/quote]
Quindi dati i due polinomi \( x^{5} - x^{2} \) e \( x^{3} + x^{2} + x \), il loro MCD qual è?
Dato che $x^3+x^2+x$ è divisore di $x^5-x^2$, il MCD dovrebbe essere in questo caso $x^3+x^2+x$, no?
Il mio problema però riguarda il caso in cui i polinomi sono primi fra loro.
"Che significato ha" il numero $41$ (per esempio) nei polinomi $(x^6−2x^5+x^4−9x^3+18x^2−9x+1,x^5−x^3−9x^2+9)=41$?
P.S. Ringrazio per l'aiuto e per la pazienza
"Che significato ha" il numero $41$ (per esempio) nei polinomi $(x^6−2x^5+x^4−9x^3+18x^2−9x+1,x^5−x^3−9x^2+9)=41$?
P.S. Ringrazio per l'aiuto e per la pazienza
Perdonami. Errore mio.
Ho fatto un esempio sbagliato.
Alla risposta alla domanda che poni ci arriverai da solo. Ne sono sicuro.
MCD tra \( x^{5} - x^{2} \), \( x^{3} + x^{2} + x \) e \( \left ( x^{2} + x \right )^{2} - 1 \).
Ho fatto un esempio sbagliato.
Alla risposta alla domanda che poni ci arriverai da solo. Ne sono sicuro.
MCD tra \( x^{5} - x^{2} \), \( x^{3} + x^{2} + x \) e \( \left ( x^{2} + x \right )^{2} - 1 \).
"G.D.":
Alla risposta alla domanda che poni ci arriverai da solo. Ne sono sicuro.
Mmh, continuo a non capire...
L'unico fattore comune ai polinomi è il polinomio $x^2+x+1$, questo è il MCD...
L'algoritmo di Euclide per gli ultimi due polinomi restituisce $(x^4+2x^3+x^2-1,x^3+x^2+x)=(x^3+x^2+x,-x^2-x-1)=-x^2-x-1$.
Chiedo scusa per la risposta attardata...
"dr00ster":
L'unico fattore comune ai polinomi è il polinomio $x^2+x+1$, questo è il MCD...
E che mi dici di \( 2x^{2}+2x+2 \)?
Provo a dare anch'io una imbeccata.
Qual è l'MCD tra $2x-1$ e $x-1/2$?
Qual è l'MCD tra $2x-1$ e $x-1/2$?
Ok, ok, ok... Credo che mi stia avvicinando...
Do dei nomi ai polinomi di G.D. e ne scrivo le scomposizioni:
Adesso, l'unico fattore comune ai polinomi (considerando la scomposizione a coefficienti interi) è $(x^2+x+1)$.
Se però $x$ è multiplo di $2$, si nota dalle "seconde" scomposizioni che $(1/2x^3-1/2x^2)$ e $(1/2x)$ sono interi, cosa che non vale per $(1/2x^2+1/2x-1/2)$.
Quindi, per $n-=0 mod 2$ si ha che $(a(n),b(n))=2n^2+2n+2$, ma $(a(n),b(n),c(n))=n^2+n+1$.
Si possono fare ragionamenti simili per il MCD fra $d(x)=2x-1$ e $e(x)=x-1/2$: se $x=(k+1/2)$ (poniamo $k$ intero) allora si ha che $d(x)=x-1/2$ divide $e(x)=2*(x-1/2)$.
Qual è allora la risposta alla domanda:
È comunque corretto scrivere $(2x-1,x-1/2)=1$?
Do dei nomi ai polinomi di G.D. e ne scrivo le scomposizioni:
Adesso, l'unico fattore comune ai polinomi (considerando la scomposizione a coefficienti interi) è $(x^2+x+1)$.
Se però $x$ è multiplo di $2$, si nota dalle "seconde" scomposizioni che $(1/2x^3-1/2x^2)$ e $(1/2x)$ sono interi, cosa che non vale per $(1/2x^2+1/2x-1/2)$.
Quindi, per $n-=0 mod 2$ si ha che $(a(n),b(n))=2n^2+2n+2$, ma $(a(n),b(n),c(n))=n^2+n+1$.
Si possono fare ragionamenti simili per il MCD fra $d(x)=2x-1$ e $e(x)=x-1/2$: se $x=(k+1/2)$ (poniamo $k$ intero) allora si ha che $d(x)=x-1/2$ divide $e(x)=2*(x-1/2)$.
Qual è allora la risposta alla domanda:
"@melia":
Qual è l'MCD tra $2x−1$ e $x-1/2?$
È comunque corretto scrivere $(2x-1,x-1/2)=1$?
Piano: non lanciarti nelle congruenze e nei multipli prima dei coefficienti e poi della "variabile" quando ancora non abbiamo chiarito perché per i polinomi nel tuo post di apertura prima il MCD era \( 1 \) e poi era \( 2 \).
Quando ti ho chiesto la definizione di MCD tu hai detto che
Stando questa definizione e considerando le doppie scomposizioni sotto spoiler nel tuo ultimo intervento, il MCD tra \(x^{5}-x^{2}\), \(x^{3}+x^{2}+x\) e \((x^{2}+x)^{2}-1\) qual è? Perché stando quelle scomposizioni, sia \(x^{2}+x+1\) che \(2x^{2}+2x+2\) "dividono" i polinomi dati e sono dello stesso grado, però non sono lo stesso polinomio. Quindi? Sono entrambi MCD?
Quando ti ho chiesto la definizione di MCD tu hai detto che
"dr00ster":
Si tratta del polinomio di grado massimo che divide entrambi i polinomi?
Stando questa definizione e considerando le doppie scomposizioni sotto spoiler nel tuo ultimo intervento, il MCD tra \(x^{5}-x^{2}\), \(x^{3}+x^{2}+x\) e \((x^{2}+x)^{2}-1\) qual è? Perché stando quelle scomposizioni, sia \(x^{2}+x+1\) che \(2x^{2}+2x+2\) "dividono" i polinomi dati e sono dello stesso grado, però non sono lo stesso polinomio. Quindi? Sono entrambi MCD?
"G.D.":
Quindi? Sono entrambi MCD?
Ok, ti chiedo di darmi una definizione esatta di MCD per polinomi...
Comunque credo si debba utilizzare come MCD $x^2+x+1$ poiché deriva da una scomposizione a coefficienti interi.
Correggo: dall'unica scomposizione a coefficienti interi possibile!
"dr00ster":
Correggo: dall'unica scomposizione a coefficienti interi possibile!
E se i due polinomi dovessero presentare dei coefficienti irrazionali?
E.g.: \( \sqrt{3} x^{2} + \left( 2 \sqrt{3} -1 \right)x -2 \) e \( \sqrt{3} x^{2} + \left( 3 \sqrt{3} -1 \right)x -2 \). Prova a scomporli.
La definizione formale di MCD non si discosta molto da quella che hai: dati due polinomi \( A \) e \( B \), un polinomio \( C \) è MCD se \( C \mid A \), \( C \mid B \) e se per ogni altro polinomio \( D \) che divide \( A \) e \( B \) risulta \( D \mid C \).
P.S.
Con \( C \mid A \) si intende che \( C \) divide \( A \).
Scompongo con Ruffini il primo polinomio $sqrt(3)x^2+(2sqrt(3)-1)x-2=(x+2)*(sqrt(3)x-1)$
Per il secondo risolvo l'equazione di secondo grado associata: $sqrt(3)x^2+(3sqrt(3)-1)x-2=(x - 1/6(-9+sqrt(3)-sqrt(6(14+sqrt(3)))))*(x - 1/6(-9+sqrt(3)+sqrt(6 (14+sqrt(3)))))$
MCD fra il primo è il secondo uguale a $1$.
Per il secondo risolvo l'equazione di secondo grado associata: $sqrt(3)x^2+(3sqrt(3)-1)x-2=(x - 1/6(-9+sqrt(3)-sqrt(6(14+sqrt(3)))))*(x - 1/6(-9+sqrt(3)+sqrt(6 (14+sqrt(3)))))$
MCD fra il primo è il secondo uguale a $1$.
Scusa ho sbagliato ancora a fare l'esempio.
I polinomi sono \( \sqrt{3} x^{2} + \left( 2 \sqrt{3} -1 \right)x -2 \) e \( \sqrt{3} x^{2} + \left( 3 \sqrt{3} -1 \right)x -3 \).
Colpa mia: stavo rispondendo a te e guardando le partite.
I polinomi sono \( \sqrt{3} x^{2} + \left( 2 \sqrt{3} -1 \right)x -2 \) e \( \sqrt{3} x^{2} + \left( 3 \sqrt{3} -1 \right)x -3 \).
Colpa mia: stavo rispondendo a te e guardando le partite.
Ok
In tal caso abbiamo $sqrt(3)x^2+(2sqrt(3)-1)x-2=(x+2)*(sqrt(3)x-1)$ e $sqrt(3)x^2+(3sqrt(3)-1)x-3=(x+3)*(sqrt(3)x-1)$.
MCD fra il primo è il secondo uguale a $sqrt(3)x-1$.
In tal caso abbiamo $sqrt(3)x^2+(2sqrt(3)-1)x-2=(x+2)*(sqrt(3)x-1)$ e $sqrt(3)x^2+(3sqrt(3)-1)x-3=(x+3)*(sqrt(3)x-1)$.
MCD fra il primo è il secondo uguale a $sqrt(3)x-1$.
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