[ALGEBRA] Teoremi del resto e di Rufffini
salve a tutti
sto cercando di capire la scomposizione di polinomi con la regola di ruffini ed ho qualche difficolta'
la definizione dice:
in un polinomio a coefficienti interi,gli eventuali zeri razionali vanno cercati fra i numeri del tipo $+-p/q$,dove $p$ e' un divisoredel termine noto e $q$ e' un divisore del coefficiente del termine di grado massimo
e gia' qui questa definizione la trovo un po' ostica....se me la potete spiegare...
EDIT: cancellato cavolate
sto cercando di capire la scomposizione di polinomi con la regola di ruffini ed ho qualche difficolta'
la definizione dice:
in un polinomio a coefficienti interi,gli eventuali zeri razionali vanno cercati fra i numeri del tipo $+-p/q$,dove $p$ e' un divisoredel termine noto e $q$ e' un divisore del coefficiente del termine di grado massimo
e gia' qui questa definizione la trovo un po' ostica....se me la potete spiegare...
EDIT: cancellato cavolate
Risposte
Dato un polinomio [tex]P(x)=a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{0}[/tex] si dice zero del polinomio in [tex]\mathbb{R}[/tex] un numero [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]P(\alpha)=0[/tex]. Se [tex]\alpha \in \mathbb{Q}[/tex] lo zero si dice razionale.
Se cerchi uno zero razionale di un polinomio [tex]P(x)[/tex] a coefficienti interi (i.e. con [tex]a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_{0} \in \mathbb{Z}[/tex]), allora le radici razionali sono del tipo [tex]\frac{p}{q}[/tex] ove [tex]p[/tex] divide il termine noto e [tex]q[/tex] divide il coefficiente direttore (i.e. [tex]a_{n}[/tex]). (*)
Il tuo metodo fantasioso io non l'ho capito, ma penso che non abbia molto senso.
___________________
(*) Per inciso questo è un teorema non una definizione.
Se cerchi uno zero razionale di un polinomio [tex]P(x)[/tex] a coefficienti interi (i.e. con [tex]a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_{0} \in \mathbb{Z}[/tex]), allora le radici razionali sono del tipo [tex]\frac{p}{q}[/tex] ove [tex]p[/tex] divide il termine noto e [tex]q[/tex] divide il coefficiente direttore (i.e. [tex]a_{n}[/tex]). (*)
Il tuo metodo fantasioso io non l'ho capito, ma penso che non abbia molto senso.
___________________
(*) Per inciso questo è un teorema non una definizione.
ordunque....stamattina sono andato a rivedermi unpo' di cose vecchie
ho rivisto la divisione di polinomi con teorema del resto e di ruffini e mi pare di aver capito che le stesse regole di allora le si riapplicano anche adesso....
quindi presumo che quando sento parlare di teorema del resto e di ruffini, anche piu' avanti dovro' rivedermi un altra volta le cose vecchie?
diciamo che gli esercizi li avevo fatti,ma non avevo capito appieno come interpretare le definizioni
mi potresti fare un esempio per la definizione $+-p/q$ che non mi e' molto chiara?
ho rivisto la divisione di polinomi con teorema del resto e di ruffini e mi pare di aver capito che le stesse regole di allora le si riapplicano anche adesso....
quindi presumo che quando sento parlare di teorema del resto e di ruffini, anche piu' avanti dovro' rivedermi un altra volta le cose vecchie?
diciamo che gli esercizi li avevo fatti,ma non avevo capito appieno come interpretare le definizioni
mi potresti fare un esempio per la definizione $+-p/q$ che non mi e' molto chiara?
e...secondo la definizione,se un polinomio e' divisibile per esempio per $x+a$ si cambia di segno nell operazione $P(-a) = $ ...
viceversa se e' divisibile per $x-a$ si cambia di segno nell operazione in $P(a) =$ ...
viceversa se e' divisibile per $x-a$ si cambia di segno nell operazione in $P(a) =$ ...
"HeadTrip":Eccolo: supponiamo che il coefficiente del termine di grado massimo sia 15 e che il il termine noto sia 6. Allora p è un divisore di 6 e può valere 1, 2, 3 o 6; q è un divisore di 15 e può essere 1, 3, 5 o 15. Scrivi tutte le frazioni possibili con quei numeratori e denominatori, cancella quelle semplificabili (che già figurano semplificate): quello che resta, a parte il segno, sono i tentativi possibili.
mi potresti fare un esempio per la definizione $+-p/q$ che non mi e' molto chiara?
Aggiungo una regola per i segni: scrivi tutti i coefficienti del polinomio ordinato e completo: se i segni sono tutti uguali è possibile solo la divisione per x+p/q; se i segni sono alternati (cioè +-+-...) solo quella per x-p/q; altrimenti sono possibili entrambe. Ad eventuali zeri puoi attribuire il segno che ti è più comodo; dicendo "sono possibili" intendo solo che non li escludi a priori, non che vanno certo bene.
ecchime
dunque....premetto che mi sa' che la regola di ruffini l avevo gia' trattata ed anche se gli esercizi li avevo fatti ho paura che mi sa' che non l avevo capita come andava capita.... vengo a capire cosa significa questa definizione: $+-p/q$
dunque posto un esempio
supponiamo di avere quest'espressione...fatta sulla base dei numeri dell esempio che mi hai fatto:
$15x^4+11x^3-6x^2-2x+6$
inquest'espressione abbiamo il coefficiente del del termine di grado massimo $15$ ed il termine noto $6$
ora $p$ e' un divisore di 6 per cui puo' assumere i valori: $1,2,3,6$
invece $q$ e' un divisore di $15$ e puo' assumere i valori: $1,3,5,15$
ora con questi valori devo individuare tutte le frazioni con $p$ --->> numeratori e $q$ --->> denominatori per cui abbiamo :
$1=$ $1;1/3;1/5;1/15$
$2=$ $2;2/3;2/5;2/15$
$3=$ $3;1;3/5;1/5$
$6=$ $6;2;6/5;2/5$
io qui le ho postate gia' semplificate....ma per "cancella quelle semplificabili" intendi dire che proprio devono essere eliminate? come per esempio anche $6/1$ e' semplificabile e diventa $6$ e $6/15$ e' semplificabile e diventa $2/5$ ... queste vanno eliminate?
quindi rimarrebbero: $1/3;1/5;1/15$ $2/3;2/5;2/15$ $3/5$ $6/5$
dunque....premetto che mi sa' che la regola di ruffini l avevo gia' trattata ed anche se gli esercizi li avevo fatti ho paura che mi sa' che non l avevo capita come andava capita.... vengo a capire cosa significa questa definizione: $+-p/q$
dunque posto un esempio
supponiamo di avere quest'espressione...fatta sulla base dei numeri dell esempio che mi hai fatto:
$15x^4+11x^3-6x^2-2x+6$
inquest'espressione abbiamo il coefficiente del del termine di grado massimo $15$ ed il termine noto $6$
ora $p$ e' un divisore di 6 per cui puo' assumere i valori: $1,2,3,6$
invece $q$ e' un divisore di $15$ e puo' assumere i valori: $1,3,5,15$
ora con questi valori devo individuare tutte le frazioni con $p$ --->> numeratori e $q$ --->> denominatori per cui abbiamo :
$1=$ $1;1/3;1/5;1/15$
$2=$ $2;2/3;2/5;2/15$
$3=$ $3;1;3/5;1/5$
$6=$ $6;2;6/5;2/5$
io qui le ho postate gia' semplificate....ma per "cancella quelle semplificabili" intendi dire che proprio devono essere eliminate? come per esempio anche $6/1$ e' semplificabile e diventa $6$ e $6/15$ e' semplificabile e diventa $2/5$ ... queste vanno eliminate?
quindi rimarrebbero: $1/3;1/5;1/15$ $2/3;2/5;2/15$ $3/5$ $6/5$
"HeadTrip":
quindi rimarrebbero: $1/3;1/5;1/15$ $2/3;2/5;2/15$ $3/5$ $6/5$
veramente rimarrebbero: $+-1/3;+-1/5;+-1/15; +-2/3; +-2/5; +-2/15; +-3/5; +-6/5;+-1; +-2; +-3; +-6$, cioè anche tutti i numeri interi divisori di 6, ovviamente sia con il segno $+$ che con il $-$.
"@melia":
[quote="HeadTrip"]quindi rimarrebbero: $1/3;1/5;1/15$ $2/3;2/5;2/15$ $3/5$ $6/5$
veramente rimarrebbero: $+-1/3;+-1/5;+-1/15; +-2/3; +-2/5; +-2/15; +-3/5; +-6/5;+-1; +-2; +-3; +-6$, cioè anche tutti i numeri interi divisori di 6, ovviamente sia con il segno $+$ che con il $-$.[/quote]
che bordello....aspe'..ricomincio daccapo perche' mi sto perdendo:
dunque,ricapitolando,tutto questo discorso vale per trovare gli zeri razionali,per tanto,dall'espressione riportata sopra avremo:
$15x^4+11x^3-6x^2-2x+6$
da cui $+-1/3;+-1/5;+-1/15; +-2/3; +-2/5; +-2/15; +-3/5; +-6/5;+-1; +-2; +-3; +-6$
in quanto abbiamo il coefficiente del termine di grado massimo che ha valore $15$
quindi ,siccome da $+-p/q$ , siccome $p$ e' in divisore di $6$ valgono sia le frazioni ottenute con $p$ al numeratore e $q$ al denominatore ,di cui per $q$ valgono i valori che possano dividere $15$ cioe' il coefficiente del termine di grado massimo,sia gli interi di $p$ in quanto dividono il numeratore $p$ direttamente
{ piccola parentesi }
nel mio libro ho ,come esempio un espressione cosi' fatta
$P(x) = x^3-2x^2-5x+6 $
da cui mi dice che tutti i possibili divisori interi vanno ricercati nei divisori del termine noto,da cui : $+6: +-1;+-2;+-3;+-6 $ in quanto il coefficiente di grado massimo ,che sarebbe in questo caso, $x^3$ ha come valore $1$ ... per cui e' divisibile solo per 1 ed i coefficienti rimarrebbero tutti tali
per cui il metodo sopra descritto $+-p/q$ vale solo se ho il coefficiente del termine di grado massimo diverso da 1 (???) anche se ci sono altri termini di grado inferiore i quali coefficienti sono diversi da 1
{chiusa parentesi}
ora arrivato a questo punto dovrei ricercare gli zeri razionali,per cui tornando all esempio precedente
$15x^4+11x^3-6x^2-2x+6$
abbiamo,rispetto ai valori che abbiamo trovato:
$P(+1/3)= 15(1/3)^4+11(1/3)^3-6(1/3)^2-2(1/3)+6(1/3) = 15(1/81)+11(1/27)-6(1/9)-2(1/3)+6(1/3) = 15/81+11/27-6/9-2/3+6/3 = 5/27+11/27-2/3-2/3+2 =$
(ho postato tutti i passaggi per chiarezza)
o rami rimane quest'espressione $5/27+11/27-2/3-2/3+2 =$ il $2/3$ e' doppio ma qui non lo devo eliminare giusto?
da qui faccio la somma per vedere se viene zero,per cui:
$5/27+11/27-2/3-2/3+2 = (5+11-18-18+54)/27 = 34/27 $
per cui non e' uno zero razionale in quanto viene $34/27 $
ora lo faccio con $-1/3$ per cui
$P(-1/3)= 15(-1/3)^4+11(-1/3)^3-6(-1/3)^2-2(-1/3)+6(-1/3)= 5/27-11/27-2/3+2/3-2 = $
qui c'e' $-2/3+2/3$ e li semplifico quindi mi rimane
$5/27-11/27-2=(5-11-54)/27= -60/27 = -20/9 $
e procedo cosi' fino a quando non trovo un espressione che da $P(x)$ faccia zero ? cioe' procedo cosi' per tutti i termini trovati ...
Sì, hai capito bene. Dicendo "cancella le frazioni semplificabili" intendevo solo dire che, arrivati ad esempio a $6/15$ puoi cancellarlo invece di semplificarlo: infatti il valore semplificato, cioè $2/5$, è già scritto in un'altra riga (e lì resta scritto come valore possibile).
Non cancelli invece $6/1$: non è semplificabile, ma è solo un altro modo di scrivere 6.
Non cancelli invece $6/1$: non è semplificabile, ma è solo un altro modo di scrivere 6.
"giammaria":
Sì, hai capito bene. Dicendo "cancella le frazioni semplificabili" intendevo solo dire che, arrivati ad esempio a $6/15$ potevi cancellarlo invece di semplificarlo: infatti il valore semplificato, cioè $2/5$, è già scritto in un'altra riga (e lì restava scritto come valore possibile).
Non cancelli invece $6/1$: non è semplificabile, ma è solo un altro modo di scrivere 6.
quindi va' eliminato se e solo se il valore semplificato lo trovo gia' presente da qualche altra parte (?)
cioe'...chiedo perche' poi nelle espressioni da risolvere chissa' cosa trovo
io nel senso,posso anche semplificare,poi se vedo che nei termini che rimangono,ci son per esempioo due valori uguali,per esempio $+-2/5;+-2/5;$ uno lo elimino....
ora sto facendo la tabella
"HeadTrip":Succede sempre (e non è difficile dimostrarlo) che il valore semplificato lo trovi gia' presente da qualche altra parte.
quindi va' eliminato se e solo se il valore semplificato lo trovo gia' presente da qualche altra parte (?)
adesso,volevo sapere un altra cosa,perche' qui mi confondo... ho letto anche qui su questa pagina http://www.itg-rondani.it/dida/Matem/ip ... mpo_07.htm
nella pagina che ho postato,al punto 4 dell'esempio, mostra la ricerca dello zero razionale per il valore di 6 con $P(+1)$ e $P(-1)$
a fianco dell operazione,per $P(+1)$ dice: e allora x-1 non è divisore
a fianco dell'operazione,per $P(-1)$ dice: e allora x-1 è divisore
subito sotto dice: allora il polinomio P(x) è divisibile per x+1
poi,mostra la tabella della divisione,di cui,subito a sinistra,noto che viene utilizzato $-1$ che e' il valore che mi pare sia riferito a $x+1$
mi spieghi perche' i segni sono al contrario? cioe' ....perche' mi dice prima,che il divisore e' $x-1$ ,poi che e' divisibile per $x+1$ ???
sul mio libro mi pare che ci sian scritte le stesse cose,con pero',una tabellaa cui hanno applicato 2 volte il teorema di ruffini,prima con $x-1$ poi con $x+2$,per cui con divisori $1$ e $-2$
e non capisco come mai abbiano applicato il teorema di ruffini 2 volte ,prima con 1 e poi con -2 visto che comunque il risultato dava sempre zero,in quanto erano zeri razionali e la divisione poteva solo dare zero(mi pare di aver capito)
l espressione sul mio libro da che e': $P(x)=3^3-2x^2-5x+6 $ $+-6: +-1;+-2;+-3;+-6;$
ora ,gli zeri assoluti sono $P(1)= 1-2-5+6 $ e $P(-2)= -8-8+10+6=0 $
ed ora mostra la divisione per $x-1$ che da' come quoziente $x^2-x-6$ ....pero' la divisione da' zero come risultato....poi divide ancora questo quoziente per $x+2$ ed il quoziente e' $x-3$,da cui il polinomio fattorizzato che risulta essere $(x-1)(x+2)(x-3)$
nella pagina che ho postato,al punto 4 dell'esempio, mostra la ricerca dello zero razionale per il valore di 6 con $P(+1)$ e $P(-1)$
a fianco dell operazione,per $P(+1)$ dice: e allora x-1 non è divisore
a fianco dell'operazione,per $P(-1)$ dice: e allora x-1 è divisore
subito sotto dice: allora il polinomio P(x) è divisibile per x+1
poi,mostra la tabella della divisione,di cui,subito a sinistra,noto che viene utilizzato $-1$ che e' il valore che mi pare sia riferito a $x+1$
mi spieghi perche' i segni sono al contrario? cioe' ....perche' mi dice prima,che il divisore e' $x-1$ ,poi che e' divisibile per $x+1$ ???
sul mio libro mi pare che ci sian scritte le stesse cose,con pero',una tabellaa cui hanno applicato 2 volte il teorema di ruffini,prima con $x-1$ poi con $x+2$,per cui con divisori $1$ e $-2$
e non capisco come mai abbiano applicato il teorema di ruffini 2 volte ,prima con 1 e poi con -2 visto che comunque il risultato dava sempre zero,in quanto erano zeri razionali e la divisione poteva solo dare zero(mi pare di aver capito)
l espressione sul mio libro da che e': $P(x)=3^3-2x^2-5x+6 $ $+-6: +-1;+-2;+-3;+-6;$
ora ,gli zeri assoluti sono $P(1)= 1-2-5+6 $ e $P(-2)= -8-8+10+6=0 $
ed ora mostra la divisione per $x-1$ che da' come quoziente $x^2-x-6$ ....pero' la divisione da' zero come risultato....poi divide ancora questo quoziente per $x+2$ ed il quoziente e' $x-3$,da cui il polinomio fattorizzato che risulta essere $(x-1)(x+2)(x-3)$
ecco...qui mi confondo anche perche' sul mio libro mi dice ,al punto in cui cerca gli zeri razionali,:
si potrebbe continuare la ricerca del terzo zero razionale ma,applicando la regola di ruffini,lo si trova automaticamente
pertanto,avendo notato che dopo aver cercato gli zeri razionali,ha fatto le operazioni solo con i primi due numeri $+-1$ e $+-2$ volevo sapere come mai....cioe' nel senso....se cerchi gli zeri razionali,non sarebbero prima da fare tutte le operazioni con tutti i divisori,dopodiche' fare la tabella,e con tutti gli zeri razionali eseguire la divisione?
e quando decido che mi basta uno zero,o due o che altro?
si potrebbe continuare la ricerca del terzo zero razionale ma,applicando la regola di ruffini,lo si trova automaticamente
pertanto,avendo notato che dopo aver cercato gli zeri razionali,ha fatto le operazioni solo con i primi due numeri $+-1$ e $+-2$ volevo sapere come mai....cioe' nel senso....se cerchi gli zeri razionali,non sarebbero prima da fare tutte le operazioni con tutti i divisori,dopodiche' fare la tabella,e con tutti gli zeri razionali eseguire la divisione?
e quando decido che mi basta uno zero,o due o che altro?
Le tue prime righe sono scarsamente comprensibili e pare di capire che ci sia un errore di segno. Le frasi giuste sono:
- se P(+1)=0 il polinomio è divisibile per (x-1) e viceversa; x=+1 è un suo zero razionale;
- se P(-1)=0 il polinomio è divisibile per (x+1) e viceversa; x=-1 è un suo zero razionale.
Quanto all'altro polinomio, sapendo che si annullano sia P(1) che P(-2) possiamo concludere che è divisibile sia per (x-1) che per (x+2) e fare le due divisioni una dopo l'altra. E' più abituale, e secondo me più comodo, trovare un solo divisore, fare la divisione e poi, se necessario, cercare i divisori del quoziente.
Dici che la divisione dà zero come risultato, ma è falso perchè dà un quoziente. Dà invece zero come resto e DEVE essere così, altrimenti non sarebbe divisibile per quel binomio.
Non mi pare che in matematica esistano gli zeri assoluti.
- se P(+1)=0 il polinomio è divisibile per (x-1) e viceversa; x=+1 è un suo zero razionale;
- se P(-1)=0 il polinomio è divisibile per (x+1) e viceversa; x=-1 è un suo zero razionale.
Quanto all'altro polinomio, sapendo che si annullano sia P(1) che P(-2) possiamo concludere che è divisibile sia per (x-1) che per (x+2) e fare le due divisioni una dopo l'altra. E' più abituale, e secondo me più comodo, trovare un solo divisore, fare la divisione e poi, se necessario, cercare i divisori del quoziente.
Dici che la divisione dà zero come risultato, ma è falso perchè dà un quoziente. Dà invece zero come resto e DEVE essere così, altrimenti non sarebbe divisibile per quel binomio.
Non mi pare che in matematica esistano gli zeri assoluti.
"giammaria":
Le tue prime righe sono scarsamente comprensibili e pare di capire che ci sia un errore di segno. Le frasi giuste sono:
- se P(+1)=0 il polinomio è divisibile per (x-1) e viceversa; x=+1 è un suo zero razionale;
- se P(-1)=0 il polinomio è divisibile per (x+1) e viceversa; x=-1 è un suo zero razionale.
ecco... "e viceversa" : perche' si cambia di segno? cioe' se e' divisibile per x-1 perche' e' un suo zero razionale +1?
Quanto all'altro polinomio, sapendo che si annullano sia P(1) che P(-2) possiamo concludere che è divisibile sia per (x-1) che per (x+2) e fare le due divisioni una dopo l'altra. E' più abituale, e secondo me più comodo, trovare un solo divisore, fare la divisione e poi, se necessario, cercare i divisori del quoziente.
quindi intendi dire di cercare uno zero razionale fra i valori del termine noto...uno qualunque per cui,non e' necessario cercarli tutti come indicato sul mio libro ? ne trovo uno e divido il polinomio che sara' sicuramente divisibile per quel valore trovato
poi ,se ottengo un quoziente,anziche' andare a cercare un altro zero razionale per i valori ottenuti dal polinomio di prima ,cercare uno zero razionale fra i divisori del quoziente ottenuto?
vale a dire:
questa e' l espressione $P(x)= x^3-2x^2-5x+6$
trovo i valori interi del termine noto e trovo il primo zero razionale $+1$ per cui il polinomio e' divisibile per $x-1$
vado a farmi la mia tabella ed eseguo la divisione ottenendo il quoziente $x^2-x-6$
ora da questo quoziente cercare un altro zero assoluto ?
ho postato questa ma e' semplice e magari non chiarisce le idee ,pero' mi serve solo per capire il procedimento....
se invece avessi dovuto trovare,come prima anche il divisore del coefficiente di grado maggiore?
Dici che la divisione dà zero come risultato, ma è falso perchè dà un quoziente. Dà invece zero come resto e DEVE essere così, altrimenti non sarebbe divisibile per quel binomio.
Non mi pare che in matematica esistano gli zeri assoluti.
ogni tanto mi scappa qualche boiata forse...
per il momento grazie comunque
Le tue domande sono molte; andiamo con ordine e prendiamole una per una.
se e' divisibile per x-1 perche' e' un suo zero razionale +1?Supponiamo che dividendo P(x) per (x-1) si ottenga il quoziente Q(x), con resto zero: allora possiamo dire che si ha P(x)=(x-1)*Q(x). L'equazione P(x)=0 è quindi lo stesso che (x-1)*Q(x)=0. Ma un prodotto si annulla se e solo se si annulla un suo fattore, quindi deve essere x-1=0 oppure Q(x)=0. Consideriamo il primo caso: si ricava x=+1 e quindi si ha un cambiamento di segno perchè il numero 1 passa all'altro membro.
quindi intendi dire di cercare uno zero razionale fra i valori del termine noto?No, per niente: intendo dire di cercare uno zero razionale qualsiasi. Naturalmente, poichè nessuno ama fare calcoli complicati, si cominciano i tentativi con i numeri più facili, fermandosi al primo tentativo riuscito; se i numeri facili non funzionano, si passa ai più difficili.
poi, se ottengo un quoziente, anziche' andare a cercare un altro zero razionale per i valori ottenuti dal polinomio di prima, cercare uno zero razionale fra i divisori del quoziente ottenuto?Sì, conviene fare così: un po' perchè i calcoli sono più brevi e un po' perchè può capitare che il quoziente sia divisibile per lo stesso binomio di prima (succede quando il polinomio è divisibile per il quadrato di quel binomio). Se però in qualche strano modo sapevi che il polinomio iniziale era divisibile, ad esempio, per (x+2) e questa divisione non è ancora stata fatta, puoi essere sicuro che anche il quoziente ottenuto è divisible per (x+2).
non mi trovo 
dunque abbiamo detto che:
per il polinomio si cercano tutti i divisori del termine noto,o fra i numeri tipo $+-p/q$ per trovare lo zero razionale
cerco lo zero razionale con le operazioni che abbiamo elencato prima
ora,io ho sul mi libro un esempio,che mi da come zero razionale un qualcosa che non fa zero e mi confondo....e' un esercizio guidato
ordunque qui l'espressione $ A(x)= x^4+2x^3-12x^2+6x-45 $
i possibili zeri di A(x) sono $ +-1;+-3;+-5;+-9;+-15;+-45 $
ora mi porta l'esempio di A(1) ed A(-1) e mi mostra che il risultato non e' uguale a zero
poi mi mostra questo
$A(3)= 81+54-108-18-45=0 $ pero' io ho rifatto il conto un po' di volte e mi viene $-36$
per quale motivo mi dice che e' uno zero razionale?
dunque abbiamo detto che:
per il polinomio si cercano tutti i divisori del termine noto,o fra i numeri tipo $+-p/q$ per trovare lo zero razionale
cerco lo zero razionale con le operazioni che abbiamo elencato prima
ora,io ho sul mi libro un esempio,che mi da come zero razionale un qualcosa che non fa zero e mi confondo....e' un esercizio guidato
ordunque qui l'espressione $ A(x)= x^4+2x^3-12x^2+6x-45 $
i possibili zeri di A(x) sono $ +-1;+-3;+-5;+-9;+-15;+-45 $
ora mi porta l'esempio di A(1) ed A(-1) e mi mostra che il risultato non e' uguale a zero
poi mi mostra questo
$A(3)= 81+54-108-18-45=0 $ pero' io ho rifatto il conto un po' di volte e mi viene $-36$
per quale motivo mi dice che e' uno zero razionale?
Nella penultima riga, davanti al 18 deve esserci il +
avevi ragione,adesso conti tornano
scusate se son esante ma non avendo un professsore che mi spiega mi arrangio come posso
stamane ho visto 5-6 videolezioni che ho trovato in giro di qua e di la'...poi ho provato un po' a fare qualche espressione
quelle semplici mi son venute ...ne ho fatte una ventina...ora mi son riarenato in altre che sono un po' particolari....
dunque quelle di questo tipo $x^4+2x^2-15$
non si trova con nessun divisore del termine noto uno zero razionale,e siccome il termine col piu' alto grado e' 1,non posso neppure trovre una frazione del tipo $+-p/q$ in quanto i divisori del termine col piu' alto grado e' sempre 1
dunque io ho provato in un po' di modi ed ho fatto cosi':
$x^4+2x^2-15$
$5(x^4+2x^2-3)$ -->> $P(1)= 1+2-3= 0 $
poi ho fatto la tabella( che non so' se si possa fare qui sul forum) ed ho ottenuto $x^3+x^2+3)$
quindi infine mi verrebbe $5(x-1)(x^3+x^2+3)$
a questo punto non posso piu' usare ruffini,potrei ancora fare una scomposizione mettendo in evidenza $x^2$ ed otterrei:
$(5+x^2)(x-1)(x+3)$
e' sbagliata...pero' non so' se come ragionamento ci sono oppure no
scusate se son esante ma non avendo un professsore che mi spiega mi arrangio come posso
stamane ho visto 5-6 videolezioni che ho trovato in giro di qua e di la'...poi ho provato un po' a fare qualche espressione
quelle semplici mi son venute ...ne ho fatte una ventina...ora mi son riarenato in altre che sono un po' particolari....
dunque quelle di questo tipo $x^4+2x^2-15$
non si trova con nessun divisore del termine noto uno zero razionale,e siccome il termine col piu' alto grado e' 1,non posso neppure trovre una frazione del tipo $+-p/q$ in quanto i divisori del termine col piu' alto grado e' sempre 1
dunque io ho provato in un po' di modi ed ho fatto cosi':
$x^4+2x^2-15$
$5(x^4+2x^2-3)$ -->> $P(1)= 1+2-3= 0 $
poi ho fatto la tabella( che non so' se si possa fare qui sul forum) ed ho ottenuto $x^3+x^2+3)$
quindi infine mi verrebbe $5(x-1)(x^3+x^2+3)$
a questo punto non posso piu' usare ruffini,potrei ancora fare una scomposizione mettendo in evidenza $x^2$ ed otterrei:
$(5+x^2)(x-1)(x+3)$
e' sbagliata...pero' non so' se come ragionamento ci sono oppure no
"HeadTrip":No, non puoi mettere in evidenza 5: se provi a fare il prodotto dopo l'uguale, il risultato è diverso dal primo membro. Invece devi porre $x^2=y$, da cui $x^4=(x^2)^2=y^2$: ottieni così $y^2+2y-15$ che puoi facilmente scomporre con la formula del trinomio (se vuoi, anche con la regola di Ruffini, ma non vale la pena di scomodarlo); torni poi all'incognita x.
$x^4+2x^2-15=5(x^4+2x^2-3)$
Penso che quando cambi esercizio faresti meglio ad aprire un altro topic.
Nei calcoli da cancellare perchè conseguenza di un errore c'è anche un altro errore:
$(x^4+2x^2-3)/(x-1)=x^3+x^2+3x+3$: tu hai dimenticato il +3x.
"giammaria":No, non puoi mettere in evidenza 5: se provi a fare il prodotto dopo l'uguale, il risultato è diverso dal primo membro. Invece devi porre $x^2=y$, da cui $x^4=(x^2)^2=y^2$: ottieni così $y^2+2y-15$ che puoi facilmente scomporre con la formula del trinomio (se vuoi, anche con la regola di Ruffini, ma non vale la pena di scomodarlo); torni poi all'incognita x.[/quote]
[quote="HeadTrip"] $x^4+2x^2-15=5(x^4+2x^2-3)$
cerchero' di capire questo passaggio ma la vedo dura...non l'ho capito
Penso che quando cambi esercizio faresti meglio ad aprire un altro topic.
faccio cosi' infatti....solo che questi esercizi sono sulla regola di ruffini...
i primi erano tipo cosi': $c^2+15c+36$
questi di adesso su cui e' tutto il giorno che ci sono sono tipo cosi': $ x^4+2x^2-15$ oppure cosi': $5x^3-2x^2+x-4$ o ancora cosi' $x^6-6x^2+11x-6$
e sarbbero tutti da svolgere con la regola di rufffini....ce ne sono 30-40 ...poi ci sono quelli misti di riepilogo,dove ,credo che ci siano tutti i sistemi possibili immaginabili che ho fatto fino ad ora mischiati....e mi viene gia' da piangere...di quelli ce ne sono 150-200 circa
mi sa' che avro' da divertirmi almeno fino a Natale[/quote]
Nei calcoli da cancellare perchè conseguenza di un errore c'è anche un altro errore:
$(x^4+2x^2-3)/(x-1)=x^3+x^2+3x+3$: tu hai dimenticato il +3x.
adesso mangio poi controllo
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