[ALGEBRA] sostituire un blocco di calcoli con una lettera
salve a tutti
sto studiando algebra,e mi e' capitato piu' di una volta di "piantarmi" su degli esercizi,che poi grazie ad alcuni utenti del forum ho risolto,o me li han fatti risolvere a forza di suggerimenti e adesso mi piacerebbe capire come funziona in modo da potermi arrangiare senza chiedere,cosi' vado magari avanti piu' velocemente
e capisco cosa faccio
dunque vi posto l'ultimo esercizio che mi ha dato noia,con tutta la risoluzione completa
adesso come adesso sto facendo degli esercizi sulla scomposizione di polinomi in fattori
l esercizio che mi ha dato noia,era sulla scomposizione utilizzando il metodo di ruffini
in pratica,stavo studiando la scomposizione col metodo di ruffini e mi son bloccato su alcuni esercizi dello stesso tipo,che in pratica prima di essere risolti avrebbero dovuto essere "smontati" per poi essere "rimontati" ad esercizio ultimato,in quanto come si presentava l'esercizio,l'utente che mi ha aiutato a risolverlo,mi ha detto che effettivamente,direttamente con ruffini,non lo si poteva risolvere...e neppure mediante la scomposizione di trinomio notevole...dopo la sua "operazione" si poteva fare l'uno e l'altro
l'esercizio in questione e' questo:
$x^4+2x^2-15$ era negli esercizi da risolvere con ruffini ma non si puo'
un itente mi ha suggerito di porre $x^2=y$ cioe' di smontare la potenza sostituento l'incognita $x^2$ con $y$
per cui verrebbe $y^2+2y-15$
da cui utilizzando ruffini ottengo immediatamente $(y-3)(y+5)$
e con la scomposizione di trinomi notevoli faccio: $y^2+5y-3y-15$ = $ (y+5)(y-3)$
poi l'ultimo passaggio giusto dovrebbe essere : $(x^2+5)(x^2-3)$ ed e' giusto
ma per me invece era $(x^2+5)(x-3)$ in quanto io facevo $x^2=y$ per cui $x^4=y^2$ e questo passaggio di ritorno mi e' un po' ostico e non credo di averlo capito appieno
volevo poi sapere su questo sistema di sostituzione se mi sapete spiegare come funziona,perche' non vorrei di nuovo trovare nella condizione di incepparmi su un esercizio che poi alla fine risulta semplice
quando si puo' fare,quando si deve fare ecc ecc
sto studiando algebra,e mi e' capitato piu' di una volta di "piantarmi" su degli esercizi,che poi grazie ad alcuni utenti del forum ho risolto,o me li han fatti risolvere a forza di suggerimenti e adesso mi piacerebbe capire come funziona in modo da potermi arrangiare senza chiedere,cosi' vado magari avanti piu' velocemente
e capisco cosa faccio dunque vi posto l'ultimo esercizio che mi ha dato noia,con tutta la risoluzione completa
adesso come adesso sto facendo degli esercizi sulla scomposizione di polinomi in fattori
l esercizio che mi ha dato noia,era sulla scomposizione utilizzando il metodo di ruffini
in pratica,stavo studiando la scomposizione col metodo di ruffini e mi son bloccato su alcuni esercizi dello stesso tipo,che in pratica prima di essere risolti avrebbero dovuto essere "smontati" per poi essere "rimontati" ad esercizio ultimato,in quanto come si presentava l'esercizio,l'utente che mi ha aiutato a risolverlo,mi ha detto che effettivamente,direttamente con ruffini,non lo si poteva risolvere...e neppure mediante la scomposizione di trinomio notevole...dopo la sua "operazione" si poteva fare l'uno e l'altro
l'esercizio in questione e' questo:
$x^4+2x^2-15$ era negli esercizi da risolvere con ruffini ma non si puo'
un itente mi ha suggerito di porre $x^2=y$ cioe' di smontare la potenza sostituento l'incognita $x^2$ con $y$
per cui verrebbe $y^2+2y-15$
da cui utilizzando ruffini ottengo immediatamente $(y-3)(y+5)$
e con la scomposizione di trinomi notevoli faccio: $y^2+5y-3y-15$ = $ (y+5)(y-3)$
poi l'ultimo passaggio giusto dovrebbe essere : $(x^2+5)(x^2-3)$ ed e' giusto
ma per me invece era $(x^2+5)(x-3)$ in quanto io facevo $x^2=y$ per cui $x^4=y^2$ e questo passaggio di ritorno mi e' un po' ostico e non credo di averlo capito appieno
volevo poi sapere su questo sistema di sostituzione se mi sapete spiegare come funziona,perche' non vorrei di nuovo trovare nella condizione di incepparmi su un esercizio che poi alla fine risulta semplice
quando si puo' fare,quando si deve fare ecc ecc
Risposte
in realtà, non hai nessun bisogno di usare Ruffini
infatti nel caso del trinomio di partenza, puoi notare come abbia la forma di un trinomio tipico, solo che anzichè essere di secondo grado è di quarto
allora puoi sostituire ad $x^2$ la y e poi scomporlo usando la regola pratica (trovare due numeri la cui somma sia 2 ed il cui prodotto sia 15), oppure lasciando le potenze invariate, ed usare comunque la regola pratica, solo che al posto di (x-3)(x+5) avrai:
$(x^2-3)(x^2+5)$
è chiaro però che questo metodo va bene solo in casi particolari come questo, in cui quindi puoi ricondurti alla regola di scomposizione di un trinomio tipico (ad esempio, se avessi avuto $x^6+2x^3-15$, questo si sarebbe scomposto in :
$(x^3-3)(x^3+5)$ , e così via..)
infatti nel caso del trinomio di partenza, puoi notare come abbia la forma di un trinomio tipico, solo che anzichè essere di secondo grado è di quarto
allora puoi sostituire ad $x^2$ la y e poi scomporlo usando la regola pratica (trovare due numeri la cui somma sia 2 ed il cui prodotto sia 15), oppure lasciando le potenze invariate, ed usare comunque la regola pratica, solo che al posto di (x-3)(x+5) avrai:
$(x^2-3)(x^2+5)$
è chiaro però che questo metodo va bene solo in casi particolari come questo, in cui quindi puoi ricondurti alla regola di scomposizione di un trinomio tipico (ad esempio, se avessi avuto $x^6+2x^3-15$, questo si sarebbe scomposto in :
$(x^3-3)(x^3+5)$ , e così via..)
Forse la spiegazione di Nicole93 ti ha già chiarito i dubbi; se così non fosse, provo a spiegarmi meglio. Il tuo ragionamento finale è così complicato che non riesco a seguirlo; il ragionamento da fare è invece molto semplice ed è questo: quando scrivo $y=x^2$ intendo dire che scrivere $y$ o scrivere $x^2$ è la stessa cosa; in qualsiasi momento posso mettere una delle due scritte al posto dell'altra. E' quello che ho fatto: c'era scritto $y-3$ e al suo posto ho messo $x^2-3$.
Provo a darti un altro esempio, più complicato, che forse chiarirà i tuoi dubbi: voglio scomporre in fattori $x^9+3x^6+4x^3+4$. Noto che tutti gli esponenti sono multipli di 3, quindi pongo $y=x^3$. A questo punto ho bisogno di vedere dappertutto $x^3$, quindi scrivo $=(x^3)^3+3(x^3)^2+4x^3+4$ $=y^3+3y^2+4y+4$. Un miglioramento c'è stato perchè ho un grado molto più basso, ma devo ancora scomporre e con Ruffini ottengo $=(y+2)(y^2+y+2)$. Se potessi, scomporrei ancora in fattori la seconda parentesi, ma poichè scopro che non è possibile, non mi resta che tornare a x: al posto di y metto il suo valore. Quindi $=(x^3+2)[(x^3)^2+x^3+2]$ $=(x^3+2)(x^6+x^3+2)$.
Spesso sia il mio primo passaggio che il penultimo vengono fatti solo a mente.
Provo a darti un altro esempio, più complicato, che forse chiarirà i tuoi dubbi: voglio scomporre in fattori $x^9+3x^6+4x^3+4$. Noto che tutti gli esponenti sono multipli di 3, quindi pongo $y=x^3$. A questo punto ho bisogno di vedere dappertutto $x^3$, quindi scrivo $=(x^3)^3+3(x^3)^2+4x^3+4$ $=y^3+3y^2+4y+4$. Un miglioramento c'è stato perchè ho un grado molto più basso, ma devo ancora scomporre e con Ruffini ottengo $=(y+2)(y^2+y+2)$. Se potessi, scomporrei ancora in fattori la seconda parentesi, ma poichè scopro che non è possibile, non mi resta che tornare a x: al posto di y metto il suo valore. Quindi $=(x^3+2)[(x^3)^2+x^3+2]$ $=(x^3+2)(x^6+x^3+2)$.
Spesso sia il mio primo passaggio che il penultimo vengono fatti solo a mente.
eccolo l'utente di cui parlavo 
in parte
ho sempre il problema che mi complico la vita anche dove potrei farne a meno
cio' che mi confonde,e' che in un polinomio come in questa scrittura $x^4+2x^2-15$ come quella di prima,ragiono nel modo che:
se io pongo $x^2=y$ allora il monomio della stesa espressione $x^4=y^2$ e dunque nel mio ultimo passaggio,quando ottengo ,dopo la scomposizione con ruffini il polinomio fattorizzato $(y-3)(y+5)$ vado a sostituire sia la prima che la seconda $y$,siccome pero' $x^4=y^2$ e $x^2=y$ ,allora $(y-3)(y+5)$ diventa $(x^2-3)(x+5)$
questo e' in pratica il mio ragionamento
si'...comunque con quest'ultimo passaggio penso di aver capito
carino questo sistema
"giammaria":
Forse la spiegazione di Nicole93 ti ha già chiarito i dubbi;
in parte
se così non fosse, provo a spiegarmi meglio. Il tuo ragionamento finale è così complicato che non riesco a seguirlo;
ho sempre il problema che mi complico la vita anche dove potrei farne a meno
il ragionamento da fare è invece molto semplice ed è questo: quando scrivo $y=x^2$ intendo dire che scrivere $y$ o scrivere $x^2$ è la stessa cosa; in qualsiasi momento posso mettere una delle due scritte al posto dell'altra. E' quello che ho fatto: c'era scritto $y-3$ e al suo posto ho messo $x^2-3$.
cio' che mi confonde,e' che in un polinomio come in questa scrittura $x^4+2x^2-15$ come quella di prima,ragiono nel modo che:
se io pongo $x^2=y$ allora il monomio della stesa espressione $x^4=y^2$ e dunque nel mio ultimo passaggio,quando ottengo ,dopo la scomposizione con ruffini il polinomio fattorizzato $(y-3)(y+5)$ vado a sostituire sia la prima che la seconda $y$,siccome pero' $x^4=y^2$ e $x^2=y$ ,allora $(y-3)(y+5)$ diventa $(x^2-3)(x+5)$
questo e' in pratica il mio ragionamento
Provo a darti un altro esempio, più complicato, che forse chiarirà i tuoi dubbi: voglio scomporre in fattori $x^9+3x^6+4x^3+4$. Noto che tutti gli esponenti sono multipli di 3, quindi pongo $y=x^3$. A questo punto ho bisogno di vedere dappertutto $x^3$, quindi scrivo $=(x^3)^3+3(x^3)^2+4x^3+4$ $=y^3+3y^2+4y+4$. Un miglioramento c'è stato perchè ho un grado molto più basso, ma devo ancora scomporre e con Ruffini ottengo $=(y+2)(y^2+y+2)$. Se potessi, scomporrei ancora in fattori la seconda parentesi, ma poichè scopro che non è possibile, non mi resta che tornare a x: al posto di y metto il suo valore. Quindi $=(x^3+2)[(x^3)^2+x^3+2]$ $=(x^3+2)(x^6+x^3+2)$.
Spesso sia il mio primo passaggio che il penultimo vengono fatti solo a mente.
si'...comunque con quest'ultimo passaggio penso di aver capito
carino questo sistema
pero' se mettiamo ipotesi che ruffini non lo si possa utilizzare,e le potenze non siano tutte multipli di qualche numero come nel caso di una scrittura di questo tipo?
$x^5-3x^3+2x^2-6$
io ho provato a scompattarla fin qui
$x^3+x^2-3x^3+2x^2-6$
$x^5-3x^3+2x^2-6$
io ho provato a scompattarla fin qui
$x^3+x^2-3x^3+2x^2-6$
No: $x^5=x^3*x^2 \ne x^3+x^2$, ma non serve a niente fare così e bisogna provare con altri metodi. Non c'è una regola fissa per scomporre in fattori: bisogna tentare con vari metodi, fino a trovare quello che funziona. PUò esserti di aiuto qualche linea-guida: la prima cosa da vedere è se si può mettere in evidenza qualcosa; se sì, farlo. Poi conviene contare quanti addendi hai: nel tuo caso, 4. Con 4 addendi, i tentativi possibili (li elenco nell'ordine in cui conviene farli) sono:
- vedere se è il cubo di un binomio: non è il tuo caso
- provare con un raccoglimento a gruppi: e nel tuo esercizio funziona, quindi fallo così. Se però non fosse andato bene, ti elenco gli altri tentativi
- vedere se si può scrivere il tutto come differenza di due quadrati (ci devono essere 3 addendi che sono dei quadrati, di cui uno con segno diverso dagli altri due; il quarto addendo deve essere il doppio prodotto che manca). Aggiungo in fondo un paio di esempi.
- Provare con Ruffini
Esempi:
$x^2-a^2-4x+4=(x-2)^2-a^2=(x-2+a)(x-2-a)$
$y^2-x^2-9-6x=y^2-(x^2+9+6x)=y^2-(x+3)^2=(y+x+3)(y-x-3)$
- vedere se è il cubo di un binomio: non è il tuo caso
- provare con un raccoglimento a gruppi: e nel tuo esercizio funziona, quindi fallo così. Se però non fosse andato bene, ti elenco gli altri tentativi
- vedere se si può scrivere il tutto come differenza di due quadrati (ci devono essere 3 addendi che sono dei quadrati, di cui uno con segno diverso dagli altri due; il quarto addendo deve essere il doppio prodotto che manca). Aggiungo in fondo un paio di esempi.
- Provare con Ruffini
Esempi:
$x^2-a^2-4x+4=(x-2)^2-a^2=(x-2+a)(x-2-a)$
$y^2-x^2-9-6x=y^2-(x^2+9+6x)=y^2-(x+3)^2=(y+x+3)(y-x-3)$
dunque:
$x^5-3x£+2x^2-6$
$(x^3+2)(x^2-3+x^2-3)$
ora
la soluzione sarebbe $(x^3+2)(x^2-3+x^2-3)$
quindi se metto in evidenza $(x^2-3)$ avanzo un $+1$
ma comunque non capisco perche' eran da fare con ruffini se poi non si puo'
io comunque ho studiato:
raccoglimento a fattore comune totale
raccoglimento parziale
differenza di due quadratiquadrato di un binomio
quadrato di un trinomio
cubo di un binomio
somma e differenza di cubi
trinomio notevole
ruffini
adesso provo ad andare avanti a far gli altri e vedo se mi viene in mente qualcosa...cioe' se riesco anche a risolverli con altri metodi e non solo con ruffini anche se son da fare con ruffini....seno' mi areno qui fino all anno prossimo
comunque,fra quelle da fare con ruffini,te ne propongo una che mi ha fatto sorridere
...sempre da fare con ruffini : $x^5-10x-12$ si annulla per $(x-2)$ 
$x^5-3x£+2x^2-6$
$(x^3+2)(x^2-3+x^2-3)$
ora
la soluzione sarebbe $(x^3+2)(x^2-3+x^2-3)$
quindi se metto in evidenza $(x^2-3)$ avanzo un $+1$
ma comunque non capisco perche' eran da fare con ruffini se poi non si puo'
io comunque ho studiato:
raccoglimento a fattore comune totale
raccoglimento parziale
differenza di due quadratiquadrato di un binomio
quadrato di un trinomio
cubo di un binomio
somma e differenza di cubi
trinomio notevole
ruffini
adesso provo ad andare avanti a far gli altri e vedo se mi viene in mente qualcosa...cioe' se riesco anche a risolverli con altri metodi e non solo con ruffini anche se son da fare con ruffini....seno' mi areno qui fino all anno prossimo
comunque,fra quelle da fare con ruffini,te ne propongo una che mi ha fatto sorridere
...sempre da fare con ruffini : $x^5-10x-12$ si annulla per $(x-2)$
"HeadTrip":No, il raccoglimento parziale non si fa così. Vedo che hai messo assieme il primo e il terzo addendo, e va bene (potevi anche mettere primo e secondo: se mai, prova a farlo e a postare la soluzione); poi si continua in questo modo:
dunque: $x^5-3x^3+2x^2-6$ = $(x^3+2)(x^2-3+x^2-3)$
ora la soluzione sarebbe $(x^3+2)(x^2-3+x^2-3)$
$=x^2(x^3+2)-3(x^3+2)=(x^3+2)(x^2-3)$
Quanto al resto, i prodotti notevoli che conosci sono tutti quelli che servono; solo che spesso vengono mescolati fra loro e si ottengono quelle che io chiamo scomposizioni "miste" (occhio: non è un termine matematico, ma solo mio). In queste rientrava il penultimo caso che ti ho elencato.
hai ragione...devo fare un ripassone perche' non ho gia' piu' l'occhio
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