[ALGEBRA] scomposizione di un trinomio notevole
ciao a tutti
sto cercando di capire la scomposizione mediante trinomi notevoli che non mi e' molto chiara
dunque,per esempio il mio libro porta quest esempio: $x^2-5x+6$
poi mi dice di cercare una coppia di valori che abbiano prodotto $+6$ e somma $-5$
ora volevo sapere ,siccome ne ho provato a far qualcuna,da quale base partire per capire di quale monomio fare il prodotto e di quale fare la somma perche' non mi e' chiaro
per esempi qui vi porto un altro esercizio svolto che non mi e' chiaro,se qualcuno me lo riece a spiegare meglio di come e' spiegato qui ,perche' non ci ho capito molto
per esempio ho $ y^6+7y^3-8$ = $(y^3)2+7y^3-8 $ qui per esempio non ho capito come mai mi scompone $y^6$ e dove va poi a finire
poi continua; essendo $ 8-1 = 7 $ e $8(-1)$ =8$ si ha
$y^6+7y^3-8=(y^3+8)(y^3-1)=(y+2)(y^2-2y+4)(y-1)(y^2+y+1)$
e ci ho capito nulla
sto cercando di capire la scomposizione mediante trinomi notevoli che non mi e' molto chiara
dunque,per esempio il mio libro porta quest esempio: $x^2-5x+6$
poi mi dice di cercare una coppia di valori che abbiano prodotto $+6$ e somma $-5$
ora volevo sapere ,siccome ne ho provato a far qualcuna,da quale base partire per capire di quale monomio fare il prodotto e di quale fare la somma perche' non mi e' chiaro
per esempi qui vi porto un altro esercizio svolto che non mi e' chiaro,se qualcuno me lo riece a spiegare meglio di come e' spiegato qui ,perche' non ci ho capito molto
per esempio ho $ y^6+7y^3-8$ = $(y^3)2+7y^3-8 $ qui per esempio non ho capito come mai mi scompone $y^6$ e dove va poi a finire
poi continua; essendo $ 8-1 = 7 $ e $8(-1)$ =8$ si ha
$y^6+7y^3-8=(y^3+8)(y^3-1)=(y+2)(y^2-2y+4)(y-1)(y^2+y+1)$
e ci ho capito nulla
Risposte
Consolati: sono in molti ad avere le stesse difficoltà. La regola si applica quando hai un trinomio del tipo $x^2+ax+b$: devi trovare due numeri che diano per somma $a$ e per prodotto $b$: ad esempio, se tu avessi $x^2+11x+24$ la somma deve essere 11 e il prodotto 24. Conviene partire dal prodotto: dimmi due numeri che diano per prodotto 24. Puoi rispondere 1*24 o 2*12, o 3*8, o 4*6; per ogni risposta che dai controlla se la somma vale 11. Questo succede per 3*8, quindi il tuo polinomio è uguale a $(x+3)(x+8)$.
In questo esempio non ho complicato le cose con i segni, ma naturalmente bisogna pensarci. Se il prodotto ha il + i segni dei due numerisono uguali: hano entrambi il + se la somma ha il +, entrambi il meno altrimenti.
Se invece il prodoto ha il -, vuol dire che i due numeri hano segno opposto: in questo caso la somma algebrica è in realtà una differenza. Esempio $x^2-2x-24$: somma =-2, prodotto=-24. Per ottenere questo prodotto puoi fare(+1)*(-24) o anche (-1)*(+24) che però non vanno bene perchè la loro somma algebrica è 23, col + o col -. Di solito ci si semplifica il lavoro non pensando ai segni: il prodotto deve essere 24 e la differenza 2. Arrivo così aj numeri 4 e 6 e adesso penso ai segni: per avere somma -2 devono essere +4 e -6. Quindi $(x+4)(x-6)$ .
Prendiamo il tuo secondo dubbio: il trinomio non è del tipo voluto, ma lo diventa se poni $y^3=x$: puoi veramente farlo per scritto, ma di solito lo si fa a mente, nel modo indicato dal tuo libro Il prodotto ha il -, quindi i due numeri hanno segno opposto ed è quindi una differenza; fra le varie coppie di numeri che hanno prodotto 8, si ottiene la differenza 7 con 8 e 1. Pensando ai segni, va bene +8 e -1.
Spero di non averti confuso ulteriormente le idee.
In questo esempio non ho complicato le cose con i segni, ma naturalmente bisogna pensarci. Se il prodotto ha il + i segni dei due numerisono uguali: hano entrambi il + se la somma ha il +, entrambi il meno altrimenti.
Se invece il prodoto ha il -, vuol dire che i due numeri hano segno opposto: in questo caso la somma algebrica è in realtà una differenza. Esempio $x^2-2x-24$: somma =-2, prodotto=-24. Per ottenere questo prodotto puoi fare(+1)*(-24) o anche (-1)*(+24) che però non vanno bene perchè la loro somma algebrica è 23, col + o col -. Di solito ci si semplifica il lavoro non pensando ai segni: il prodotto deve essere 24 e la differenza 2. Arrivo così aj numeri 4 e 6 e adesso penso ai segni: per avere somma -2 devono essere +4 e -6. Quindi $(x+4)(x-6)$ .
Prendiamo il tuo secondo dubbio: il trinomio non è del tipo voluto, ma lo diventa se poni $y^3=x$: puoi veramente farlo per scritto, ma di solito lo si fa a mente, nel modo indicato dal tuo libro Il prodotto ha il -, quindi i due numeri hanno segno opposto ed è quindi una differenza; fra le varie coppie di numeri che hanno prodotto 8, si ottiene la differenza 7 con 8 e 1. Pensando ai segni, va bene +8 e -1.
Spero di non averti confuso ulteriormente le idee.
grazie...domani provo con l aiuto della tua spiegazione un po' piu' chiara del libro
meno male che in molti hanno difficolta'...stavo per scoraggiarmi un po'
meno male che in molti hanno difficolta'...stavo per scoraggiarmi un po'
ok grazie mille...le ho quasi fatte tutte e dovrei esserci....
vedo per le ultime se ci fosse qualcosa che non mi trovo
vedo per le ultime se ci fosse qualcosa che non mi trovo
Supponi di avere il prodotto seguente: $(x+a)(x+b)$ se lo svolgi ottieni: $x^2+bx+ax+ab$ e, raccogliendo i termini: $x^2+(a+b)x+ab$. $a$ e $b$ sono dette "radici". Se hai, perciò, il trinomio: $x^2-5x+6$ sai che il coefficiente della variabile di primo grado è $-5$ e rappresenta la somma delle due radici, mentre il termine noto è $+6$ e rappresenta il prodotto delle radici. Puoi impostare il sistema: ${(a+b=-5),(ab=6):}$ e trovi le soluzioni che non sono sempre intere...
Peccato che per risolvere il sistema serva conoscere le equazioni di secondo grado, che certamente HeadTrip non conosce.
"@melia":
Peccato che per risolvere il sistema serva conoscere le equazioni di secondo grado, che certamente HeadTrip non conosce.
Una delle questioni poste era quella di capire perché deve cercare una coppia di numeri la cui somma e il cui prodotto fossero i coefficienti della $x$ e il termine noto. Il sistema che ho proposto era un di più. Forse non è ancora in grado di risolverlo, ma credo che, ora, abbia un dubbio in meno.
comunque le ho fattte tutte...domani rileggo cio' che ha scritto gpaolo che adesso sono un po' cotto e devo aprire un quesito
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