[Algebra] - Equazioni irrazionali
Salve a tutti 
Si abbia questa equazione irrazionale $sqrt(x^2+8)-x=2sqrt(2-x)$. Grado di difficoltà (secondo il libro): 3/3. Ed è vero, non riesco neanche a trovare il campo di esistenza
Allora, il primo radicale è sempre definito perché il radicando $x^2+8>0, AAx in RR$. Il secondo radicale invece esiste se è $x<=2$. Ora cosa dovrei fare con quella $x$ in mezzo? Io la lascerei così e andrei avanti con l'elevamento al quadrato ma non sono sicuro, c'è qualche altra C.A.?
Si abbia questa equazione irrazionale $sqrt(x^2+8)-x=2sqrt(2-x)$. Grado di difficoltà (secondo il libro): 3/3. Ed è vero, non riesco neanche a trovare il campo di esistenza
Allora, il primo radicale è sempre definito perché il radicando $x^2+8>0, AAx in RR$. Il secondo radicale invece esiste se è $x<=2$. Ora cosa dovrei fare con quella $x$ in mezzo? Io la lascerei così e andrei avanti con l'elevamento al quadrato ma non sono sicuro, c'è qualche altra C.A.?
Risposte
Esattamente.
Oh grazie, ho preferito prima fare un sistema con le due C.A., poi ho calcolato la soluzione dell'equazione elevata al quadrato e poi l'ho confrontata con le C.A. e mi è uscito giusto.
Ora però ho questa: $sqrt(x-12a)+6=sqrt(x)$.
C.A.: $ { ( x>=0 ),( x>=12a ):} $ . Questo sistema necessita di un minimo di discussione presumo.
1) $a<0 rArr S_(C.A.): x>=0$
2) $a=0 rArr S_(C.A.): x>=0$
3) $a>0 rArr S_(C.A.): x>=12a$.
Ora vado ad elevare i membri dell'equazione:
$sqrt(x-12a)=sqrt(x)-6$
$x-12a=x+36-12sqrt(x)$
$6a+18=6sqrt(x)$
$3a+9=3sqrt(x)$
$9x=9a^2+54a+81$
$x=(a+3)^2$.
Allora, devo confrontare questa soluzione con le C.A. prima trovate
1) Nell'ipotesi che sia $a<=0$, la soluzione dev'essere positiva o al più pari a zero. Ciò accade sempre.
2) Nell'ipotesi che sia $a>0$, la soluzione dev'essere maggiore o uguale a $12a$. Di conseguenza: $(a+3)^2-12a>=0 rarr (a-3)^2>=0$. Ciò accade sempre.
E beh, a sto punto, a cosa servivano le C.A.? Ho sbagliato qualcosa?
Ora però ho questa: $sqrt(x-12a)+6=sqrt(x)$.
C.A.: $ { ( x>=0 ),( x>=12a ):} $ . Questo sistema necessita di un minimo di discussione presumo.
1) $a<0 rArr S_(C.A.): x>=0$
2) $a=0 rArr S_(C.A.): x>=0$
3) $a>0 rArr S_(C.A.): x>=12a$.
Ora vado ad elevare i membri dell'equazione:
$sqrt(x-12a)=sqrt(x)-6$
$x-12a=x+36-12sqrt(x)$
$6a+18=6sqrt(x)$
$3a+9=3sqrt(x)$
$9x=9a^2+54a+81$
$x=(a+3)^2$.
Allora, devo confrontare questa soluzione con le C.A. prima trovate
1) Nell'ipotesi che sia $a<=0$, la soluzione dev'essere positiva o al più pari a zero. Ciò accade sempre.
2) Nell'ipotesi che sia $a>0$, la soluzione dev'essere maggiore o uguale a $12a$. Di conseguenza: $(a+3)^2-12a>=0 rarr (a-3)^2>=0$. Ciò accade sempre.
E beh, a sto punto, a cosa servivano le C.A.? Ho sbagliato qualcosa?
Le condizioni di esistenza che hai posto sarebbero bastate se tu avessi elevato alle seconda l'esericzio del testo $(sqrt(x-12a)+6)^2=(sqrt(x))^2$ perché entrambi i membri erano posivi o nulli data la loro forma: a primo membro una radice mai negativa sommata ad una quantità positiva e a secondo una radice mai negativa. Ma per rendere più semplice il calcolo hai modificato il testo, trasformandolo in $sqrt(x-12a)=sqrt(x)-6$. Qui, prima di elevare a potenza, devi anche occuparti della concordanza dei segni, quindi ti manca $sqrt(x)-6>=0$, cioè $x>=36$
E' vero è vero che stupido 
Prima non c'erano condizioni di concordanza di segno! Ok..domani posterò qualche altra equazione irrazionale letterale e vedrò un po' se me la cavo. Un dubbio che mi è saltato in testa: leggendo il programma di fine anno scolastico, mi sono accorto che abbiamo fatto la risoluzione grafica di disequazioni di 1° grado, 2° grado, equazioni di 2° grado, sistemi di disequazioni, equazioni eccetera, ma si può risolvere graficamente anche un'equazione o una disequazione irrazionale? Il nostro testo non accenna neanche minimamente a questo tipo di ragionamento.
Prima non c'erano condizioni di concordanza di segno! Ok..domani posterò qualche altra equazione irrazionale letterale e vedrò un po' se me la cavo. Un dubbio che mi è saltato in testa: leggendo il programma di fine anno scolastico, mi sono accorto che abbiamo fatto la risoluzione grafica di disequazioni di 1° grado, 2° grado, equazioni di 2° grado, sistemi di disequazioni, equazioni eccetera, ma si può risolvere graficamente anche un'equazione o una disequazione irrazionale? Il nostro testo non accenna neanche minimamente a questo tipo di ragionamento.
Sì, ma la cosa è un filino più complicata, richiede la conoscenza dello studio di funzioni irrazionali eventualmente derivanti da coniche. Direi roba di terza o quinta.
Ah ok aspetterò con impazienza allora 
Torno sull'argomento delle equazioni irrazionali letterali fratte, perché la professoressa ci ha detto di allenarci tutta l'estate con questo tipo di ragionamento così da arrivare in terza con le idee chiare e affrontare la geometria analitica e la trigonometria. Ovviamente seguirà il suo consiglio fino allo sfinimento e fino a che non le avrò capite al 100% =).
Ho questa $(sqrt(a)+sqrt(x))/(sqrt(a)-sqrt(x))=(a+2)/(a-2)$. Qui ci sono una marea di C.E. e C.A...allora io all'inizio avevo scritto:
$C.E. = { ( a>=0 ),( x>=0 ),( a!=2 ),( sqrt(a)!=sqrt(x) ):} $, però non mi ispirava tanto perché era misto e in più c'erano due incognite... Quindi le ho divise in due sistemi, uno per la $a$ e uno per la $x$ e forse qui ho fatto degli errori. Dopo un po' di calcoli arrivo a:
C.E.: $a!=x, a!=2, x>=0, a>=0$
Arrivo alla F.N. dell'equazione e la soluzione mi esce $x=4/a$, che so essere giusta.
Ora però boh, la discussione mi scombussola un po' le cose.
1) $a<0 vv a=2 rarr S= { }$ (equazione priva di senso)
2) $a>0 ^^ a!=2 rarr S={4/a}$
3) $a=0 rarr x>0$
Sono giuste?
Grazie in anticipo =)
Torno sull'argomento delle equazioni irrazionali letterali fratte, perché la professoressa ci ha detto di allenarci tutta l'estate con questo tipo di ragionamento così da arrivare in terza con le idee chiare e affrontare la geometria analitica e la trigonometria. Ovviamente seguirà il suo consiglio fino allo sfinimento e fino a che non le avrò capite al 100% =).
Ho questa $(sqrt(a)+sqrt(x))/(sqrt(a)-sqrt(x))=(a+2)/(a-2)$. Qui ci sono una marea di C.E. e C.A...allora io all'inizio avevo scritto:
$C.E. = { ( a>=0 ),( x>=0 ),( a!=2 ),( sqrt(a)!=sqrt(x) ):} $, però non mi ispirava tanto perché era misto e in più c'erano due incognite... Quindi le ho divise in due sistemi, uno per la $a$ e uno per la $x$ e forse qui ho fatto degli errori. Dopo un po' di calcoli arrivo a:
C.E.: $a!=x, a!=2, x>=0, a>=0$
Arrivo alla F.N. dell'equazione e la soluzione mi esce $x=4/a$, che so essere giusta.
Ora però boh, la discussione mi scombussola un po' le cose.
1) $a<0 vv a=2 rarr S= { }$ (equazione priva di senso)
2) $a>0 ^^ a!=2 rarr S={4/a}$
3) $a=0 rarr x>0$
Sono giuste?
Grazie in anticipo =)
Nessuno può aiutarmi?
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