[Algebra] - Equazioni irrazionali
Salve a tutti 
Si abbia questa equazione irrazionale $sqrt(x^2+8)-x=2sqrt(2-x)$. Grado di difficoltà (secondo il libro): 3/3. Ed è vero, non riesco neanche a trovare il campo di esistenza
Allora, il primo radicale è sempre definito perché il radicando $x^2+8>0, AAx in RR$. Il secondo radicale invece esiste se è $x<=2$. Ora cosa dovrei fare con quella $x$ in mezzo? Io la lascerei così e andrei avanti con l'elevamento al quadrato ma non sono sicuro, c'è qualche altra C.A.?
Si abbia questa equazione irrazionale $sqrt(x^2+8)-x=2sqrt(2-x)$. Grado di difficoltà (secondo il libro): 3/3. Ed è vero, non riesco neanche a trovare il campo di esistenza
Allora, il primo radicale è sempre definito perché il radicando $x^2+8>0, AAx in RR$. Il secondo radicale invece esiste se è $x<=2$. Ora cosa dovrei fare con quella $x$ in mezzo? Io la lascerei così e andrei avanti con l'elevamento al quadrato ma non sono sicuro, c'è qualche altra C.A.?
Risposte
qui l'unica condizione è quella che hai detto tu, ossia $x<=2$, i ragionamenti che hai fatto sono giusti. Quella x da sola, fuori dalla radice non dà nessun disturbo! Ora puoi procedere con la risoluzione dell'eqazione.
Perfetto, grazie, l'ho risolta, chissà perché hanno messo 3/3 di difficoltà, mah! La prossima è $sqrt(x+sqrt(2x-1))=(x^2-3)/(sqrt(x-sqrt(2x-1)))$.
Allora per il primo radicale non ho problemi: basta che $x>=1/2$. Il secondo dev'essere strettamente maggiore di 0 perché è a denominatore. Quindi posso dire che le C.A. di tutta l'equazione sono $x>=1/2$?
Allora per il primo radicale non ho problemi: basta che $x>=1/2$. Il secondo dev'essere strettamente maggiore di 0 perché è a denominatore. Quindi posso dire che le C.A. di tutta l'equazione sono $x>=1/2$?
devi escludere anche $1$, perchè se $x=1$ il denominatore del secondo membro si annulla
Giusto è vero, avrei dovuto fare l'equazione $x-sqrt(2x-1)=0$ per essere più sicuro. Ora però ho un altro dubbio 
Risolvendo sempre la stessa equazione, faccio denominatore comune e arrivo a $sqrt(x^2-2x+1)=x^2-3$. Il primo radicale esiste per le C.A. di prima, ma devo anche porre $x^2-3>=0$ (per concordanza di segno) e farmi la disequazione?
Risolvendo sempre la stessa equazione, faccio denominatore comune e arrivo a $sqrt(x^2-2x+1)=x^2-3$. Il primo radicale esiste per le C.A. di prima, ma devo anche porre $x^2-3>=0$ (per concordanza di segno) e farmi la disequazione?
Nono niente $x^2-2x+1=(x-1)^2$. Quindi l'equazione diventa $x-1=x^2-3$, giusto?
esatto
EDIT: Mi correggo: diventa $|x-1|=x^2-3$
EDIT: Mi correggo: diventa $|x-1|=x^2-3$
Oh ecco, grazie. L'ho risolta e mi è uscito il giusto risultato.
In questa non so proprio come comportarmi: $sqrt(x-1)=sqrt(2-sqrt(3x+1))$. Il primo radicale esiste per $x>=1$. Questa, purtroppo, non è condizione sufficiente per la realtà del secondo radicale. Il radicale dentro il secondo radicale esiste per $x>=-1/3$ (quindi la C.A. di tutta l'equazione rimarrebbe ancora $x>=1$). Però ora boh, non so più cosa fare
In questa non so proprio come comportarmi: $sqrt(x-1)=sqrt(2-sqrt(3x+1))$. Il primo radicale esiste per $x>=1$. Questa, purtroppo, non è condizione sufficiente per la realtà del secondo radicale. Il radicale dentro il secondo radicale esiste per $x>=-1/3$ (quindi la C.A. di tutta l'equazione rimarrebbe ancora $x>=1$). Però ora boh, non so più cosa fare
Ecco dopo una bella mangiata il cervello lavora meglio . Le C.A. sono per caso $x>=2$?
. Le C.A. sono per caso $x>=2$?
scusami, sto facendo l'esercizio DI PRIMA insieme a te....
al numeratore non ti viene qualcosa tipo: $(x-sqrt(2x-1))(x-sqrt(2x-1))=x^4+9-6x^2$ ?
Quel passaggio l'ho ottenuto da:
$sqrt(x-sqrt(2x-1))sqrt(x+sqrt(2x-1))-x^2+3=0$
come hai proceduto? A me poi viene un'eqauzuione di 4 grado
al numeratore non ti viene qualcosa tipo: $(x-sqrt(2x-1))(x-sqrt(2x-1))=x^4+9-6x^2$ ?
Quel passaggio l'ho ottenuto da:
$sqrt(x-sqrt(2x-1))sqrt(x+sqrt(2x-1))-x^2+3=0$
come hai proceduto? A me poi viene un'eqauzuione di 4 grado
Esatto io poi ho fatto $sqrt((x+sqrt(2x-1))(x-sqrt(2x-1)))=x^2-3 rarr sqrt(x^2-2x+1)=x^2-3 rarr sqrt((x-1)^2)=x^2-3 rarr x-1=x^2-3 rarr -x^2+x+2=0$ e poi ho calcolato le soluzioni 
grande! Il mio procedimento era giusto, solo che finiva con il risolvere un'eqazione di quarto grado non semplice. Il tuo metodo semplifica tutto! Grazie mille.
Per chi leggesse solo quest'ultimo post, eravamo rimasti qui:
Per chi leggesse solo quest'ultimo post, eravamo rimasti qui:
"Fabiouz94":
Oh ecco, grazie. L'ho risolta e mi è uscito il giusto risultato.
In questa non so proprio come comportarmi: $sqrt(x-1)=sqrt(2-sqrt(3x+1))$. Il primo radicale esiste per $x>=1$. Questa, purtroppo, non è condizione sufficiente per la realtà del secondo radicale. Il radicale dentro il secondo radicale esiste per $x>=-1/3$ (quindi la C.A. di tutta l'equazione rimarrebbe ancora $x>=1$). Però ora boh, non so più cosa fare
Ecco dopo una bella mangiata il cervello lavora meglio . Le C.A. sono per caso $x>=2$?
Grazie a te per aver ripreso l'equazione precedente 
Allora, ci sono tre condizioni da porre:
1) $x-1>=0 rArr x>=1$
2) $3x+1>=0 rArr x>=-1/3$
3)$2-sqrt(3x+1)>=0 rArr ...$ Prova a risolvere questa... Dovrebbe venire $x<=1$, se non sbaglio
1) $x-1>=0 rArr x>=1$
2) $3x+1>=0 rArr x>=-1/3$
3)$2-sqrt(3x+1)>=0 rArr ...$ Prova a risolvere questa... Dovrebbe venire $x<=1$, se non sbaglio
Eh io l'ultima condizione l'ho risolta in questo modo. Siccome non so ancora fare le disequazioni irrazionali, ho pensato che se già $x>=-1/3$, allora il radicale dell'ultima condizione che hai scritto tu è positivo o uguale a 0 e... nononono che sto facendo, allora il cervello non lavorava bene neanche dopo mangiato 
. Il problema è che non so ancora fare le disequazioni irrazionali.
. Il problema è che non so ancora fare le disequazioni irrazionali.
non ho fatto i calcoli, ma se davvero l'ultima condizione è $x<=1$ allora il campo di esistenza della equazione lo ottieni mettendo a sistema le 3 condizioni e quindi sembra proprio che l'unico punto in cui l'equazione ha senso è $x=1$... un solo punto!
Quindi ti basta sostituire $x=1$ per vedere se quell'unico punto verifica o no l'uguaglianza e ti accorgerai di sì.
Tu dici: "Il problema è che non so ancora fare le disequazioni irrazionali." ma io dal testo dell'esercizio vedo il simbolo $=$ .....
Quindi ti basta sostituire $x=1$ per vedere se quell'unico punto verifica o no l'uguaglianza e ti accorgerai di sì.
Tu dici: "Il problema è che non so ancora fare le disequazioni irrazionali." ma io dal testo dell'esercizio vedo il simbolo $=$ .....
Sisi quella di partenza è un'equazione, ma per risolvere l'ultima C.A. che ha scritto Gi8 bisogna saper fare le disequazioni irrazionali, vabbè comunque sì ho capito e ho risolto l'equazione, grazie
Equazione: $(x-sqrt(4-x^2))^(-1) - (x+sqrt(4-x^2))^(-1)=3/7$.
I miei passaggi:
$1/(x-sqrt(4-x^2))-1/(x+sqrt(4-x^2))=3/7$
Condizioni di accettabilità: $ { ( x-sqrt(4-x^2)!=0 ),( x+sqrt(4-x^2)!=0 ):} rarr -2
$14sqrt(4-x^2)=3(x^2-4+x^2)$
$7sqrt(4-x^2)=3x^2-6$
$49(4-x^2)=9x^4+36-36x^2$
$-9x^4-13x^2+160=0$
Posto $x^2=t$ si ha $-9t^2-13t+160=0 rarr x_(1,2)=-5 vv 3,(5)$. La prima non è accettabile perché negativa.
$x^2=t hArr x=+-sqrt(3,(5))$. dovrebbe uscire $+-4/3sqrt(2)$. Dove ho sbagliato?
I miei passaggi:
$1/(x-sqrt(4-x^2))-1/(x+sqrt(4-x^2))=3/7$
Condizioni di accettabilità: $ { ( x-sqrt(4-x^2)!=0 ),( x+sqrt(4-x^2)!=0 ):} rarr -2
$14sqrt(4-x^2)=3(x^2-4+x^2)$
$7sqrt(4-x^2)=3x^2-6$
$49(4-x^2)=9x^4+36-36x^2$
$-9x^4-13x^2+160=0$
Posto $x^2=t$ si ha $-9t^2-13t+160=0 rarr x_(1,2)=-5 vv 3,(5)$. La prima non è accettabile perché negativa.
$x^2=t hArr x=+-sqrt(3,(5))$. dovrebbe uscire $+-4/3sqrt(2)$. Dove ho sbagliato?
Non hai sbagliato, ovvero hai sbagliato non lasciare la forma scritta come frazione, trasformandola in decimale periodico non hai riconosciuto l'uguaglianza $3,bar5 =32/9$
Giusto $(35-3)/9$, non ci avevo pensato. Perché è così brutto lasciare $sqrt(3,bar5)$?
$sqrt(x^2-2a)+a=x$. Qui è un po' difficile trovare le C.A.
$sqrt(x^2-2a)=x-a$.
Stavo pensando, l'equazione può essere risolta dal sistema: $ { ( x^2-2a>=0 ),( x-a>=0 ),( x^2-2a=(x-a)^2 ):} $ ? (ovviamente dovrò discutere il sistema)
$sqrt(x^2-2a)=x-a$.
Stavo pensando, l'equazione può essere risolta dal sistema: $ { ( x^2-2a>=0 ),( x-a>=0 ),( x^2-2a=(x-a)^2 ):} $ ? (ovviamente dovrò discutere il sistema)
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