Algebra delle matrici

[Andrea902]

Buonasera a tutti! Ho un problema riguardante l'algebra delle matrici:
"Sono date due generiche matrici quadrate $A$ e $B$ di ordine n. Dimostrare che $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, se e solo se $AB=BA$".

Come posso procedere? Ho già determinato due matrici generiche, ma quando posso sfruttare la condizione $AB=BA$ che mi fornisce il testo? Nell'attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.

[codino75]

la puoi sfruttare sempre.

secondo me e' piu' facile di quello che pensi, se puoi sfruttare la proprieta' distributiva.
io farei cosi':
(A+B)^2=(A+B)(A+B)=AA+AB+BA+BB=...
MA FORSE E' TROPPO SEMPLICE PER ESSERE vero.
alex

[Andrea902]

Allora, giunto alla situazione $A*A+A*B+B*A+B*B$ potrei asserire che è necessario che sia $AB=BA$... in ogni caso posso applicare la proprietà distributiva per le matrici nel caso $(A+B)(A+B)$?

[codino75]

"Andrea90": in ogni caso posso applicare la proprietà distributiva per le matrici nel caso $(A+B)(A+B)$?

si', mi pare che non vale solamente la proprieta' commutativa, differentemente dai numeri reali.

[Andrea902]

Si, infatti. Non vale solo la proprietà commutativa...

[Chevtchenko]

"codino75":(A+B)^2=(A+B)(A+B)=AA+AB+BA+BB=...

E' proprio cosi'.

[franced]

"Andrea90":Allora, giunto alla situazione $A*A+A*B+B*A+B*B$ potrei asserire che è necessario che sia $AB=BA$... in ogni caso posso applicare la proprietà distributiva per le matrici nel caso $(A+B)(A+B)$?

Allora:

$(A+B)^2 = (A+B)*(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2$

se vuoi che

$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

puoi sostituire la prima relazione, ottenendo:

$A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2$

semplificando per $A^2$ e $B^2$ ottieni:

$AB + BA = 2 AB$

a questo punto sottrai $AB$ da entrambe le parti, ricavando:

$BA = AB$.

Francesco Daddi