Algebra
1)Risulta:
xy=a;x+y=b;x^(2002)+y^(2002)=c;x^(2003)+y^(2003)=d;
Esprimere in funzione di a,b,c,d l'espressione:
x^(2004)+y^(2004);
2)Dimostrare che se e':
a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2
allora e' pure:
a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4
karl.
xy=a;x+y=b;x^(2002)+y^(2002)=c;x^(2003)+y^(2003)=d;
Esprimere in funzione di a,b,c,d l'espressione:
x^(2004)+y^(2004);
2)Dimostrare che se e':
a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2
allora e' pure:
a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4
karl.
Risposte
1) Moltiplicando tra loro la prima e la terza uguaglianza si ha:
xy[x^(2002) + y^(2002] = ac
yx^(2003) + xy^(2003) = ac
Moltiplicando la seconda e la quarta si ottiene:
(x + y)[x^(2003) + y^(2003)] = bd
x^(2004) + xy^(2003) + yx^(2003) + y^(2004) = bd
Inserendo la relazione precedente abbiamo:
x^(2004) + y^(2004) = bd - ac.
xy[x^(2002) + y^(2002] = ac
yx^(2003) + xy^(2003) = ac
Moltiplicando la seconda e la quarta si ottiene:
(x + y)[x^(2003) + y^(2003)] = bd
x^(2004) + xy^(2003) + yx^(2003) + y^(2004) = bd
Inserendo la relazione precedente abbiamo:
x^(2004) + y^(2004) = bd - ac.
dunque, spero di aver fatto i calcoli giusti...
a^2 + b^2 +(a+b)^2= c^2 + d^2 +(c+d)^2 da cui
(a+b)^2 -ab= (c+d)^2 -cd (ho fatto la sostituzione di a^2+b^2 con
(a+b)^2 -2ab)
ora, poichè i due numeri sono uguali, almeno così ci dice il segno di uguaglianza, allora posso elevare entrambi i membri dell' equazione, ottenendo
(a+b)^4 -2(a+b)^2 *ab + (ab)^2= (c+d)^4 -2(c+d)^2 *cd +(cd)^2,
da cui, svolgendo i clacoli, lasciando però illibato (a+b)^4 e (c+d)^4,
otteniamo
(a+b)^4- [1/2*( (a+b)^4 -a^4 -b^4)]
da cui, poiche viene la stessa cosa per il membro con c e d,
otteniamo
(a+b)^4 -((a+b)^4)/2 + (a^4)/2 + (b^4)/2, stessa cosa per il membro con c e d, e uguagliando i due membri si ottiene
a^4 + b^4 +(a+b)^4=c^4 + d^4 +(c+d)^4
qed...
sarà anche bello, ma mi è costato troppi neuroni in calcoli[xx(][xx(]
a^2 + b^2 +(a+b)^2= c^2 + d^2 +(c+d)^2 da cui
(a+b)^2 -ab= (c+d)^2 -cd (ho fatto la sostituzione di a^2+b^2 con
(a+b)^2 -2ab)
ora, poichè i due numeri sono uguali, almeno così ci dice il segno di uguaglianza, allora posso elevare entrambi i membri dell' equazione, ottenendo
(a+b)^4 -2(a+b)^2 *ab + (ab)^2= (c+d)^4 -2(c+d)^2 *cd +(cd)^2,
da cui, svolgendo i clacoli, lasciando però illibato (a+b)^4 e (c+d)^4,
otteniamo
(a+b)^4- [1/2*( (a+b)^4 -a^4 -b^4)]
da cui, poiche viene la stessa cosa per il membro con c e d,
otteniamo
(a+b)^4 -((a+b)^4)/2 + (a^4)/2 + (b^4)/2, stessa cosa per il membro con c e d, e uguagliando i due membri si ottiene
a^4 + b^4 +(a+b)^4=c^4 + d^4 +(c+d)^4
qed...
sarà anche bello, ma mi è costato troppi neuroni in calcoli[xx(][xx(]
Mi dispiace per i tuoi neuroni ma ti confesso
che ne ho spento anch'io qualcuno prima
di arrivare alla soluzione.
Se t'interessa saperlo si tratta di esercitazioni
preIMO ,sai quelle chi si fanno per prepararsi alle
OLIMPIADI di MATEMATICA.
karl.
che ne ho spento anch'io qualcuno prima
di arrivare alla soluzione.
Se t'interessa saperlo si tratta di esercitazioni
preIMO ,sai quelle chi si fanno per prepararsi alle
OLIMPIADI di MATEMATICA.
karl.
Mi hanno preceduto ! Carino soprattutto il primo!
Per il secondo, credo sia meglio dimenticarsi del tutto la seconda parte dell'equazione e cercare di uguagliare in qualche modo i due membri con operazioni lecite come quelle di jack questo perchè i due membri sono uguali a meno di scambio di variabili...un altro modo è verificare svolgendo il binomio che:
(a^2+b^2+ab)^2=a^4+b^4+(a+b)^4
ma nn cambia nulla
Per il secondo, credo sia meglio dimenticarsi del tutto la seconda parte dell'equazione e cercare di uguagliare in qualche modo i due membri con operazioni lecite come quelle di jack questo perchè i due membri sono uguali a meno di scambio di variabili...un altro modo è verificare svolgendo il binomio che:
(a^2+b^2+ab)^2=a^4+b^4+(a+b)^4
ma nn cambia nulla
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