Alcuni limiti

[desko]

Un'amica (5° anno liceo scientifico) mi ha chiesto di darle una mano sui limiti e fra tutti gli esercizi proposti, di uno non siamo riusciti a venirne a capo:
$lim_(x->0^+) (1+x)^lnx$
Ho provato in tutti i modi che mi sono venuti in mente, ma evidentemente sono troppo arrugginito.
(essenzialmente sto cercando di ricondurmi al classico limite notevole esponenziale, perché la struttura mi sembra quella)
Accanto a questo la prof ha proposto due sfide e da due settimane nessuno è ancora riuscito a portare in classe una soluzione; non ho ancora avuto molto tempo per lavorarci sopra, ma ormai sono diventate delle sfide anche per me e le propongo a tutti voi:
$lim_(x->0) ln(cosx)/(1-cos2x)$

$lim_(x->1) x^(1/(1-x))$ (grazie Seneca per la correzione)
Grazie

[Seneca1]

Il secondo limite. Ho "oscurato" il procedimento per non condizionarti nel caso in cui tu volessi risolverlo da solo.

$lim_(x->0) ln(cosx)/(1-cos2x)$

Consiglio: lo puoi risolvere per sostituzione;

$cos(x) = ( 1 + z )^(1/2)$

Procedimento:

$lim_(x->0) ln(cosx)/(1-cos2x)$

Applicando le formule di duplicazione del coseno, il denominatore diventa: $2 ( 1 - cos^2(x) )$

$lim_(x->0) ln(cosx)/(2 ( 1 - cos^2(x) ))$

Operiamo la seguente sostituzione: $cos(x) = ( 1 + z )^(1/2)$

Quando $x -> 0$, $z -> 0$



$lim_(z->0) (1/2) ln(1 + z)/(2 ( 1 - (1 + z) ))$

$lim_(z->0) - 1/4 ln(1 + z)/(z) = - 1/4$

[Seneca1]

Ti faccio notare che la forma $[ 0^1]$ non è una forma indeterminata!

Forse, azzardo un'ipotesi, il limite è per $ x -> 1 $

$lim_( x -> 1) x^(1/(1-x))$

Sostituzione:

$x = 1 - (1/z)$

Per $ x -> 1^- $, $z -> + oo$ [ $ x -> 1^+ $, $z -> - oo$ ]



$lim_( z -> {+/-} oo) (1 - 1/z)^(1/(1-(1 - (1/z)))) = lim_( x -> {+/-} oo) (1 - 1/z)^(z) = e^(-1) $

[Seneca1]

$lim_(x->0^+) (1+x)^lnx$

Usiamo l'identità logaritmica:

$y = e^{ lnx ln (1+x) }$

$lim_(x->0^+) e^{ x lnx (ln(1+x)/x) }$

$ (ln(1+x)/x) -> 1$ per $ x -> 0^+$

Non rimane che da vedere come si comporta $x lnx$ in un intorno destro di $0$.

$lim_(x -> 0^+) x lnx$


Lo puoi vedere bene sostituendo $x = 1/t$

$lim_(x -> 0^+) x lnx = lim_(t -> +oo) ln(1/t)/t = lim_(t -> +oo) - ln(t)/t = 0$

Infatti: $AA \alpha, \beta$ si ha:

$lim_( x -> 0^+) x^\alpha | ln(x) |^\beta = 0$

Si dimostra facilmente con il teorema di De L'Hospital.


Ritornando al nostro limite, verificato che l'esponente di $e$ ha per limite $0 * 1$, si ha:

$e^{lim_(x->0^+) x lnx (ln(1+x)/x) } = e^0 = 1$

[desko]

Grazie mille Seneca.
Ho dato una rapida occhiata e son tutti procedimenti un po' macchinosi e non immediati; se posso capirlo per i due limiti "sfida", per l'esercizio (il primo che ho proposto) mi sembra un po' troppo: credo che debba esistere un metodo un po' più immediato. Anche perché qui si tratta di un esercizio per una 5^ liceo appena iniziata e quindi credo che il teorema di de l'Hospital non sia ancora disponibile.
Ma magari mi sbaglio, appena riesco ci lavoro un po' su.
Ancora grazie mille.

[@melia]

Per quanto riguarda il primo esercizio temo che il procedimento proposto da Seneca sia uno dei migliori possibili e che l'esercizio non si possa risolvere senza l'Hospital o un confronto tra infiniti o tra infinitesimi.

[desko]

"@melia":Per quanto riguarda il primo esercizio temo che il procedimento proposto da Seneca sia uno dei migliori possibili e che l'esercizio non si possa risolvere senza l'Hospital o un confronto tra infiniti o tra infinitesimi.

Infiniti e infinitesimi potrebbe essere un metodo "legittimo", credo li abbiano già fatti.
Io non ci avevo pensato perché non mi sembrava il metodo giusto, ma potrebbe anche essere.

[Seneca1]

Ti assicuro che non c'è nulla di eccessivamente macchinoso.

Il succo è capire come risolvere $lim_(x->+oo) ln(x)/x$

Solitamente i primi mesi del liceo si passa "sotto banco" l'idea che $ln(x)$ per $ x -> +oo$ va ad infinito "molto più lentamente" rispetto a qualsiasi potenza della $x$. Con la teoria degli ordini di infinito si potrà formalizzare dicendo che $ln(x)$ è di ordine inferiore rispetto ad ogni potenza della $x$.

Tuttavia solo con De L'Hospital si dimostrerà questo risultato.

In fondo è qualcosa di intuibile andando a vedere i grafici delle due funzioni... Il logaritmo naturale cresce molto blandamente a differenza di $x$, la quale cresce molto più velocemente. Il rapporto $ln(x)/x$ tenderà quindi a $0$.

[desko]

"Seneca":Ti assicuro che non c'è nulla di eccessivamente macchinoso.

Il succo è capire come risolvere $lim_(x->+oo) ln(x)/x$

Solitamente i primi mesi del liceo si passa "sotto banco" l'idea che $ln(x)$ per $ x -> +oo$ va ad infinito "molto più lentamente" rispetto a qualsiasi potenza della $x$. Con la teoria degli ordini di infinito si potrà formalizzare dicendo che $ln(x)$ è di ordine inferiore rispetto ad ogni potenza della $x$.

Tuttavia solo con De L'Hospital si dimostrerà questo risultato.

In fondo è qualcosa di intuibile andando a vedere i grafici delle due funzioni... Il logaritmo naturale cresce molto blandamente a differenza di $x$, la quale cresce molto più velocemente. Il rapporto $ln(x)/x$ tenderà quindi a $0$.

In effetti riguardandolo con calma è evidente che l'unico scoglio è proprio la necessità di usare De L'Hospital, cosa al momento non disponibile, visto che non l'hanno ancora studiato.
E ieri ho appurato che l'esercizio in questione è nel capitolo sui limiti notevoli, il che lascerebbe intendere che sia risolvibile con quelli.