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[FEDERICASCUOLA]

sul lato BC=a di un quadrato ABCD si consideri un punto E e, conginto E con A, sia F la proiezione ortogonale di B su AE. si colcoli il limite del rapporto (BF+EF):BE al tendere di E a B. il risultato è 1

[BIT5]

Consideriamo i triangoli ABE e EFB.

entrambi i triangoli sono rettangoli e hanno un angolo in comune (l'angolo BEF)

Pertanto per i criteri di similitudine, i triangoli sono simili.

Poniamo l'angolo BAE=x (e di conseguenza, anche l'angolo EBF)

Il cateto AB del triangolo ABE e' il lato del quadrato (a).

Per la definizione di seno e coseno, dunque, avremo che

[math] \frac{ \bar{AB}}{ \bar{AE}}= \cos x \to \bar{AE}=\frac{a}{\cos x} [/math]

E dunque

[math] \bar{EB}= \bar{AE} \sin x = a \tan x [/math]

Analogamente calcoliamo

[math] \bar{BF}= \bar{EB} \cos x = a \sin x [/math]

[math] \bar{EF}= \bar{EB} \sin x = a \tan x \sin x [/math]

La relazione dell'esercizio sara' dunque

[math] \frac{ a \sin x + a \tan x \sin x }{a \tan x}=\frac{a\sin x(1+\tan x)}{a\cdot\frac{sin x}{\cos x}}=\cos x(1+\tan x) [/math]

Se E tende a B, l'angolo x tende a zero.

quindi

[math] \lim_{x \to 0} \cos x(1+\tan x)=1\cdot(1+0)=1[/math]

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