Aiuto x disequazioni

[geovito]

ciao,
mi aiutate, per favore a risolvere e capire queste disequazioni

$(0,31)^x<5$

$3^x<4^x$
grazie

[cozzataddeo]

"vitus":ciao,
mi aiutate, per favore a risolvere e capire queste disequazioni

$(0,31)^x<5$

$3^x<4^x$
grazie

La prima disequazione è immediata: poiché la base dell'esponenziale a primo membro è compresa tra 0 e 1, nel passare ai logaritmi si deve invertire il verso della disuguaglianza e quindi si ha

$x > log_{0.31}5$

Per la seconda, dividendo entrambi i membri per $4^x$ (non ci sono problemi con i segni perché un esponenziale è sempre strettamente positivo) si ottiene
$(3^x)/(4^x)<1$
$(3/4)^x<1$
$(3/4)^x<(3/4)^0$
$x>0$
dove l'inversione del verso della disuguaglianza è dovuta ancora al fatto che la base dell'esponenziale è compresa tra $0$ e $1$.

A parte lo svolgimento di questi due esercizi, quali erano i tuoi dubbi?

[_Tipper]

"vitus":$(0,31)^x<5$

Applichiamo il logaritmo in base $0.31$, e cambiamo il verso della disequazione, visto che il logaritmo con base minore di $1$ è funzione monotona decrescente

$x > \log_{0.31}(5)$

"vitus":$3^x<4^x$

Dato che $3^x>0$ $\forall x \in \mathbb{R}$ si può dividere per questo termine lasciando inalterato il segno della disequazione, e si ottiene

$(\frac{4}{3})^x > 1$

che si può scrivere come

$(\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^0$

ed è verificata per $x>0$

perché l'esponenziale con base maggiore di $1$ è una funzione monotona crescente.

EDIT: Taddeo, oggi, per quanto riguarda la velocità, sei imbattibile

[geovito]

grazie mille ad entrambi. il mio dubbio (lo so che è banale) è: perchè è possibile cambiare segno alla 1° disequazione?

[_Tipper]

Per risolvere quella equazione tu applichi il logaritmo in base $0.31$ a entrambi i mebri, cioè fai questo

$\log_{0.31}[(0.31)^x] > \log_{0.31}(5)$

ma il logaritmo con base minore di $1$ è una funzione monotona decrescente.

Se $f$ è una funzione monotona decrescente in tutto il suo dominio, allora $f(x_1) < f(x_2) \Leftrightarrow x_1 > x_2$ per ogni $x_1, x_2$ nel dominio di $f$; nel tuo caso devi vedere $f(\cdot)$ come $\log_{0.31}(\cdot)$, $x_1$ come $(0.31)^x$ e $x_2$ come $5$.

EDIT: sbagliato un segno

[geovito]

capito.
L'avevo intuito, ma volevo un'autorevole conferma.
grazie mille
Le spiegazioni sono impeccabili!!Se anche i ns prof lo fossero....

[cozzataddeo]

"Tipper":EDIT: Taddeo, oggi, per quanto riguarda la velocità, sei imbattibile

...per un puro caso ti ho anticipato di un soffio in due topic...ma ho visto che sulla controrisposta mi hai bruciato...

[_Tipper]

"Cozza Taddeo":[quote="Tipper"]EDIT: Taddeo, oggi, per quanto riguarda la velocità, sei imbattibile

...per un puro caso ti ho anticipato di un soffio in due topic...ma ho visto che sulla controrisposta mi hai bruciato... [/quote]
E per forza, ero già caldo!