Aiuto urgente, non ho capito come fare questi esercizi sulla circonferenza e la retta mi potreste aiutare?

[ancolle]

Determina le coordinate dei loro eventuali punti d'intersezione
1. 2x-y+1=0 (retta) x^2+y^2+8x-6y=0 (circonferenza) risultati (-1,-1);(1;3)
2. y=-2x+6 (retta) x^2+y^2-4x=0 (circonferenza) risultati [(2,2); (18/5, -6/5
Grazie

[anna.supermath]

Esercizio 1
Siano date
la retta di equazione

[math]
2x - y + 1 = 0
[/math]

la circonferenza di equazione

[math]
x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0
[/math]

Per trovare gli eventuali punti di intersezione si devono mettere a sistema le due precedenti equazioni:

[math]
2x - y + 1 = 0
[/math]

[math]
x^2 + y^2 + 8x - 6y = 0
[/math]

ricavando la y dalla prima

[math]
y = 2x + 1
[/math]

e sostituendola nella seconda si ottiene che

[math]
x^2 + (2x + 1)^2 + 8x - 6(2x + 1) = 0
[/math]

svolgendo i calcoli

[math]
x^2 + 4x^2 + 1 + 4x + 8x - 12x - 6 = 0
[/math]

da cui

[math]
5x^2 - 5 = 0
[/math]

[math]
5x^2 = 5
[/math]

[math]
x^2 = 1
[/math]

[math]
x = \pm 1.
[/math]

Se

[math]
x = 1
[/math]

allora

[math]
y = 2 \cdot 1 + 1
[/math]

[math]
y = 3
[/math]

quindi il primo punto di intersezione ha coordinate

[math]
(1;3).
[/math]

Se

[math]
x = -1
[/math]

allora

[math]
y = 2 \cdot (-1) + 1
[/math]

[math]
y = -1
[/math]

quindi il secondo punto di intersezione ha coordinate

[math]
(-1;-1).
[/math]

Osservazione importante
Puoi valutare se la retta risulta secante alla circonferenza confrontando la distanza del centro della circonferenza dalla retta, con il raggio della circonferenza stessa:

• se tale distanza risulta uguale al raggio della circonferenza analizzata, la retta risulta essere tangente;


• se tale distanza risulta maggiore del raggio della circonferenza analizzata, la retta risulta essere esterna alla circonferenza (nessun punto in comune);


• se tale distanza risulta minore del raggio della circonferenza analizzata, la retta risulta essere secante.

Nel caso in esame si ha che il centro della circonferenza è dato da

[math]
C = (\frac{-a}{2}) ; (\frac{-b}{2})
[/math]

ossia

[math]
C = (\frac{-8}{2}) ; (\frac{-(-6)}{2})
[/math]

[math]
C = (-4; 3)
[/math]

La distanza dalla retta

[math]
ax + by + c = 0
[/math]

(nella forma implicita) è data da

[math]
d = \frac{|a x_C + b y_C + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
[/math]

[math]
d = \frac{|(2)(-4) + (-1)(3) + 1|}{\sqrt{(2)^2 + (-1)^2}}
[/math]

[math]
d = \frac{10}{\sqrt{5}}
[/math]

[math]
d = 2 \sqrt{5}
[/math]

Il raggio della circonferenza data risulta

[math]
r = \sqrt{(\frac{-a}{2})^2 + (\frac{-b}{2})^2 - c}
[/math]

[math]
r = \sqrt{(-4)^2 + (9)^2}
[/math]

[math]
r = 5
[/math]

essendo

[math]
2 \sqrt{5}
[/math]

minore di

[math]
5
[/math]

, la retta risulta essere secante.

Esercizio 2
Sia data la retta

[math]
y = -2x + 6
[/math]

e la circonferenza

[math]
x^2 + y^2 - 4x = 0.
[/math]

Al solito si mettono a sistema le due precedenti equazioni

[math]
y = -2x + 6
[/math]

[math]
x^2 + y^2 - 4x = 0
[/math]

e si sostituisca la prima nella seconda

[math]
x^2 + (-2x + 6)^2 - 4x = 0
[/math]

[math]
x^2 + 4x^2 + 36 - 24x - 4x = 0
[/math]

[math]
5x^2 - 28x + 36 = 0
[/math]

[math]
x_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{784 -720}}{10}
[/math]

[math]
x_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{64}}{10}
[/math]

[math]
x_{1,2} = \frac{28 \pm 8}{10}
[/math]

[math]
x_1 = 2
[/math]

[math]
x_2 = \frac{18}{5}.
[/math]

Se

[math]
x_1 = 2
[/math]

allora

[math]
y_1 = -2(2) +6
[/math]

[math]
y_1 = 2
[/math]

quindi si ottiene il punto (

[math]
2; 2).
[/math]

Se

[math]
x_2 = \frac{18}{5}
[/math]

allora

[math]
y_2 = -2(\frac{18}{5}) + 6
[/math]

[math]
y_2 = \frac{-6}{5}
[/math]

quindi si ottiene il punto

[math]
(\frac{18}{5}; \frac{-6}{5}).
[/math]

Se hai dubbi, chiedi pure.