Aiuto trinomio notevole?

[Sfiggy]

Ciao ragazzi,
Come si scompongono questi due trinomi?
4y^2+y+1
4y^2-y-1
Grazie

[otta96]

Cosa hai provato a fare?

[Sfiggy]

Niente non so come procedere ma devo aiutare una ragazzina nei compiti e non so come fare

[axpgn]

Non sono trinomi notevoli ... comunque ti basta calcolare il $Delta$ e vedi che il primo è irriducibile e il secondo ha soluzioni irrazionali ...

[Erasmus_First]

"Sfiggy":Come si scompongono questi due trinomi?
4y^2+y+1
4y^2-y-1
Grazie

@ Sfiggy
Un trinomio di 2° grado – diciamolo $ax^2 + bx^2 + c$ – è sempre scomponibile nel campo complesso. Se i coefficienti $a$, $b$ e $c$ sono reali, il trinomio è scomponibile nel campo dei numeri reali solo se non è negativo il nunero
$b^2 – 4ac$
(che è chiamato "discriminante" ed è indicato di solito con ∆) .

A) Se sai risolvere le equazioni di 2° grado procedi così:
1) Risolvi l'equazione $ax^2 + bx + c= 0$, trovando quinti due soluzioni (che sono
$x_1 = (-b+sqrt(b^2 -4ac))/(2a)$; $x_2 = (-b-sqrt(b^2 -4ac))/(2a)$. (*).
NB: Le soluzioni d una equazione ottenuta uguagliando a zero un polinomio si chiamano anche RADICI o anche ZERI di quel polinomio.
2) Note le "radici" $x_1$ e $x_2$ del trinomio $ax^2 + bx + c$ vale la seguente uguaglianza:
$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$.
NB. Naturalmente, se è ∆ = 0 (cioè $b^2-4ac =0$, ovvero $c/a=(b/(2a)^2$ , le due radìcì $x_1$ e $x_2$ coincidono.

B) Se non conoscevi prima d'ora le formule (*) per risolvere le equazioni di 2° grado o se le hai dimenticate, procedi come ti spiego qui di seguito.
[Occhio: parlo sempre in generale, ossia ragionando siul trinomio $ax^2-bx+c$].
1) Raccogli il coefficiente $a$ a fattore comune e scrivi il termine di 1° grado in x moltiplicando e dividendo per 2, ossia fa':
$ax^2 + bx + c = a(x^2 + b/ax + c/a) = a(x^2 +2b/(2a)x + c/a)$.
Se per caso $c/a$ è uguale al quadrato di $b/(2a)$, allora tra parentesi hai il quadrato di $x+b/(2a)$ ... e hai finito, perché allora $-$ cioè solo se capita $c/a = (b/(2a))^2 = b^2/(4a^2)$ $-$ valgono le seguenti uguaglianze:
$c/a = b^2/(4a^2)$ ⇒ $ax^2 + bx + c = a(x^2 + 2b/(2a)x + c/a) = a(x^2 + 2b/(2a)x + b^2/(4a^2))$ = $a(x+b/(2a))^2$.
2) Altrimenti, $–$in generale, tranne il caso aoppena detto $-$ immagina che $x^2 +2b/(2a)x$ siano i primi due termini d'un quadrato al quale manca $(b/(2a))^2 = b^2/(4a^2$ per essere completo. Allora aggiiungi e togli questo termine, ossia fa':
$ax^2 + bx + c = a(x^2 + 2b/(2a)x + c/a) = a{x^2 + 2b/(2a)x +b^2/(4a^2) - [b^2/(4a^2) -c/a]} =$
$= a[(x+b/(2a))^2- (b^2-4ac)/(4a^2)] $.
3) Ora ricordati del prodotto notevole $(A+B)(A-B) = A^2 -B^2$ ... e leggilo da destra a sinistra! Trovi allora:
$ax^2+bx+c = a[(x+b/(2a) + sqrt(b^2-4ac)/(2a))(x+b/(2a) + sqrt(b^2-4ac)/(2a))] $
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Tornando ai trinomi di cui chiedi come si scompongono, applica quello che ti ho appena spiegato!
1) $4y^2+y+1 = 4(y^2 + 2y/8+1/4) = 4[y^2 + 2y/8+1/64 - (1/64 - 1/4)] =$
$=4[(y+ 1/8)^2 - (-15/64)] =4(y+1/8+sqrt(-15)/8)(y+1/8-sqrt(-15)/8) =$
$= ((8y+1+sqrt(-15))(8y+1-sqrt(-15)))/16$.
Vedi che in questo caso (in cui hai $a=4$. $b=1$ e $c=1$) il discriminante è
$∆=b^2 -4ac = 1-4·4·1 = -15 < 0$.
e quindi – siccome non ci sono numeri reali col quadrato negativo! – la scomposizione non si può fare nel campo dei numeri reali, (cioè "il trinomio è irriducibile in $RR$").
2) $4y^2+y-1 = 4(y^2 + 2y/8-1/4) = 4[y^2 + 2y/8+1/64 - (1/64 + 1/4)] =$
$=4[(y+ 1/8)^2 - 17/64)] =4(y+1/8+sqrt17/8)(y+1/8-sqrt17/8) =$
$= ((8y+1+sqrt(17))(8y+1-sqrt(17)))/16$.
In questo caso (in cui hai $a=4$. $b=1$ e $c=-1$) il discriminante è
$∆=b^2 -4ac = 1-4·4·(·1) = 17>0$.
Perciò il trinomio è scomponibile nel campo dei numeri reali. [Ma i fattori di primo grado hanno il termine di grado zero irrazionale].
Spero di esserti stato utile.
Ciao ciao!

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