Aiuto su problema di trigonometria su semicirconferenza

[webdomen]

Non riesco a risolvere il problema:

Si consideri una semicirconferenza di diametro AB = 2r. Dove va posizionato un punto M su di essa affinché il triangolo ABM abbia area r^2/2? E dove si trova il punto M per il quale il triangolo ABM ha area massima?

[anna.supermath]

Ciao, ecco la soluzione.
Guarda il file allegato per orientarti su figura e calcoli.
Fissato M sulla semicirconferenza
Sia x l’angolo in A, ossia
x = MAB
L’area del triangolo rettangolo in M, si trova nel seguente modo:
A = (AM)(BM)/2
dove
AM = (2r)(cosx)
BM = (2r)(senx)
sostituendo
A = (2r)(cosx)(2r)(senx)/2
A = (2)(r^2)(senx)(cosx)
che, per la formula di duplicazione (2senxcosx = sen2x), ti conviene scrivere come segue:
A = (r^2)(sen2x)
Tale quantità deve essere uguale a (r^2)/2
Quindi
(r^2)(sen2x) = (r^2)/2
sen2x = (1/2)
ossia
2x = pigreco/6
(2x = 30º)
2x = (5)(pigreco)/6
(2x = 150º)
(nel file allegato ho scritto anche il periodo, ma trattandosi di un problema geometrico, basta tu trovi gli angoli legati a quest’ultimo)
Quindi
x = pigreco/12
x = (5)(pigreco)/12
Poiché x deve essere compreso fra 0 e pigreco/2 (limitazioni di x che deduci dalla figura facendo variare M da A a B), 0