Aiuto su problema di trigonometria semicirconferenza

[webdomen]

Data una semicirconferenza di diametro AB = 2r , si tracci a partire da A una semiretta che formi con AB un angolo di 2/3 Pi e su di essa si prenda un punto C che disti 2r da A.

Per ogni punto P sulla semicirconferenza, risulta definito l'angolo x=PAB Si determini x così che
a) l'area del triangolo ABP sia uguale a r^2/SQRT(2)
b) l'area del triangolo ABP sia massima
c) l'area del quadrilatero ACPB sia massima

risposte:
a) x=Pi/8, 3/8Pi
b) x=Pi/4
c) x=Pi/6

[anna.supermath]

Ciao
Mi confermi che la risposta della domanda c) sia Pi/6?
A me viene Pi/3 risolvendo il problema in due modi diversi

[webdomen]

ciao
nel libro è ripotato Pi/6 come risposta, tuttavia alcune volte i libri presentano degli errori.
Postami pure il procediamo che hai svolti magari è giusto il risultato che hai trovato tu
grazie

[anna.supermath]

Ha ragione il testo
Ho trovato l’errore
invio tutto

Aggiunto 23 minuti più tardi:

Soluzione domanda a
Area del triangolo APB,
Aapb = (r^2)/(radice di 2)
PB = 2r senx
AP = 2r cosx
Aapb = (1/2)(AP)(AB) senx

Aapb = (1/2)(2rcosx)(2r) senx

Aapb = 2(r^2)(senx)(cosx)
Aapb = (r^2)(sen2x)
Impongo

2(r^2)(senx)(cosx) = (r^2)/(radice di 2)
sen2x = (radice di 2)/2
2x = Pi/4
quindi
x = Pi/8
Inoltre
2x = (3/4)Pi
quindi
x = (3/8)Pi

Soluzione domanda b
Aapb è massima se sen2x = 1
Quindi
2x = Pi/2
x = Pi/4

Soluzione domanda c)
L’area del quadrilatero ACPB si calcola come la somma delle aree dei triangoli APB e APC
Ossia
Aacpb = Aapb + Aapc

Aapb = (r^2)(sen2x)

Aapc = (1/2)(AP)(AC)sen(PAC)

Aapc = (1/2)(2rcosx)(2r)sen((2/3)Pi - x)

Aapc = (r^2)((radice di 3)(cosx)^2 - (cosx)(senx))

Aacpb = (r^2)((radice di 3)(cosx)^2 + (cosx)(senx)) =
= (r^2)((radice di 3)(cosx) - (senx))(cosx)

Aacpb = (r^2)sen((Pi/3) + x)
Tale area è massima quando

sen((Pi/3) + x) = 1

((Pi/3) + x) = Pi/2
x = Pi/6