Aiuto su diseq. esponenziale.
salve,
ho la seguente disequazione
$((2/3)^(x-1)-1)/(sqrt(2)-root(3)(2^(x-1))) < 0$
che ha come risultati $]1;5/2[$
scrivo tutti i passaggi che ho svolto,
anche per vedere se ho fatto bene o se ho fatto qualcosa di inutile...
Alla fine non mi ritrovo nei calcoli. ecco i passaggi:
pongo num. e denom. $>0$:
a) $(2/3)^(x-1)-1 > 0$
b) $sqrt(2)-root(3)(2^(x-1)) > 0$
riguardo alla a)
$ (2/3)^x / (2/3) - 1 > 0 \Rightarrow (2/3)^x * (3/2) - 1 > 0 \Rightarrow$
pongo $(2/3)^x = t$ e procedo:
$3/2t - 1 > 0 \Rightarrow (3t-2)/2>0 \Rightarrow 3t-2>0 \Rightarrow 3t>2 \Rightarrow t>2/3$
quindi ottengo:
$(2/3)^x > 2/3 \Rightarrow x>1$
ora considero la b)
$2^(1/2)-(2^(x-1))^(1/3) > 0 \Rightarrow $
$2^(1/2) - 2^(x/3 - 1/3) > 0 \Rightarrow $
$2^(1/2)-2^((x-1)/3) > 0 \Rightarrow $
$2^((x-1)/3) < 2^(1/2) \Rightarrow$
$(x-1)/3<1/2 \Rightarrow$
$(x-1)/3 - 1/2 < 0 \Rightarrow$
mcm $\Rightarrow (2(x-1) - 3) / 6 < 0 \Rightarrow$
$2x-5 < 0 \Rightarrow$
$2x < 5 \Rightarrow$
$x < 5/2$
Ora arrivati a questo punto se non sbaglio dovrei impostare un grafico di questo tipo:
__________1___________5/2____________
__________|____________|.......................
................|____________|______________
------------+++++++++++--------------------
e ora sorge la domanda:
in teoria guardando la traccia si dovrebbero considerare i risultati negativi è giusto? quindi soluzioni esterne.
Perchè nella traccia ho come soluzioni valori interni? che trovo solo se considero l'intervallo positivo?
dove ho sbagliato?
per cortesia potete aiutarmi?
grazie mille.
ho la seguente disequazione
$((2/3)^(x-1)-1)/(sqrt(2)-root(3)(2^(x-1))) < 0$
che ha come risultati $]1;5/2[$
scrivo tutti i passaggi che ho svolto,
anche per vedere se ho fatto bene o se ho fatto qualcosa di inutile...
Alla fine non mi ritrovo nei calcoli. ecco i passaggi:
pongo num. e denom. $>0$:
a) $(2/3)^(x-1)-1 > 0$
b) $sqrt(2)-root(3)(2^(x-1)) > 0$
riguardo alla a)
$ (2/3)^x / (2/3) - 1 > 0 \Rightarrow (2/3)^x * (3/2) - 1 > 0 \Rightarrow$
pongo $(2/3)^x = t$ e procedo:
$3/2t - 1 > 0 \Rightarrow (3t-2)/2>0 \Rightarrow 3t-2>0 \Rightarrow 3t>2 \Rightarrow t>2/3$
quindi ottengo:
$(2/3)^x > 2/3 \Rightarrow x>1$
ora considero la b)
$2^(1/2)-(2^(x-1))^(1/3) > 0 \Rightarrow $
$2^(1/2) - 2^(x/3 - 1/3) > 0 \Rightarrow $
$2^(1/2)-2^((x-1)/3) > 0 \Rightarrow $
$2^((x-1)/3) < 2^(1/2) \Rightarrow$
$(x-1)/3<1/2 \Rightarrow$
$(x-1)/3 - 1/2 < 0 \Rightarrow$
mcm $\Rightarrow (2(x-1) - 3) / 6 < 0 \Rightarrow$
$2x-5 < 0 \Rightarrow$
$2x < 5 \Rightarrow$
$x < 5/2$
Ora arrivati a questo punto se non sbaglio dovrei impostare un grafico di questo tipo:
__________1___________5/2____________
__________|____________|.......................
................|____________|______________
------------+++++++++++--------------------
e ora sorge la domanda:
in teoria guardando la traccia si dovrebbero considerare i risultati negativi è giusto? quindi soluzioni esterne.
Perchè nella traccia ho come soluzioni valori interni? che trovo solo se considero l'intervallo positivo?
dove ho sbagliato?
per cortesia potete aiutarmi?
grazie mille.
Risposte
Mah, non vorrei sbagliare pure io, ma credo abbia ragione tu...
il risultato della prima (numeratore > 0) è "x<1" perché la base (2/3) è minore di 1. OK? ciao.
No. Non mi è tanto chiaro.... che sia 2/3 < 1 va bene ma perchè seguendo i passaggi non me lo ritrovo?
Ah è vero. quando la base è compresa tra 0 e 1 si cambia il verso della disequazione... Ti ringrazio!!
proprietà di monotonia delle potenze: se hai una base >1, le potenze aumentano all'aumentare dell'esponente; se invece la base è <1, all'aumentare dell'esponente le potenze diminuiscono.
$(2/3)^1>(2/3)^2$ ad esempio...
dunque per essere $(2/3)^x>2/3$ deve essere $x<1$
$(2/3)^1>(2/3)^2$ ad esempio...
dunque per essere $(2/3)^x>2/3$ deve essere $x<1$
prego... ho visto solo ora l'altro messaggio.
bè la tua spiegazione formale non la sapevo. sapevo solo praticamente che dovevo cambiare il verso ma l'avevo dimenticato. ti ringrazio nuovamente per la tua spiegazione!! :')
prego!
hai presenti i grafici delle funzioni esponenziali?
la proprietà di monotonia delle potenze si può fare anche in primo superiore, ma i grafici delle funzioni esponenziali si devono fare per forza, più in là...
hai presenti i grafici delle funzioni esponenziali?
la proprietà di monotonia delle potenze si può fare anche in primo superiore, ma i grafici delle funzioni esponenziali si devono fare per forza, più in là...
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