Aiuto su alcune disequazioni ed equazioni esponenziali.
salve,
ho le seguenti:
se cortesemente potreste aiutarmi
1)
$(2^(-2x)-2^(x+1))/(2^(x^2)-16) >= 0$
sol.: $]-infty;-2[U[-1/3; 2[$
2)
$(3^(4x-2))/(3^(x-2))-2*3^(2x+1)-(57)/(3^(1-x))+84 = 0$
sol.: $1;log_(3) 7$
3)
$e^(|x|-1)=3$
sol.: $1+log 3; -1-log 3$
4)
$|log_(2)x-4|>5$
sol.: $]0;1/22^9;+infty[$
ecco come ho proceduto però senza successo:
(1): nella (1) ho posto $2^x=t$ però gia da subito arrivano le difficoltà quando devo sostituitire a $2^(x^2)$ la $t$ come si fa?
e quindi di conseguenza mi sono fermato lì. quindi se potete darmi almeno l'impostazione iniziale che poi lo continuo io;
(2): nella (2) ho posto $3^x=t$ dopo aver effettuato alcuni passaggi, ecco quanto ho fatto ma poi mi sono bloccato:
$(3^(4x)/3^2)/((3^x)/(3^2)) - 2*(3^(2x))/(3) - 57/(3/3^x) + 84 = 0 \Rightarrow$
pongo $3^x = t \Rightarrow$
$t^4/9 * 9/t - (2t^2)/3 - 57/(3/t)+84 = 0 \Rightarrow$
$t^3-(2t^2)/3-(57t)/3+84 = 0 \Rightarrow$
mcm $(3t^3-2t^2-57t+252)/3 = 0 \Rightarrow$
semplifico il denom. $3t^3-2t^2-57t+252 = 0$
se fin qui come si procede oltre?
(3): nella (3) ho proceduto così:
$e^(x-1) = 3 \Rightarrow e* (e^x)/e = 3e \Rightarrow log e^x = log 3e \Rightarrow x= log 3 + log e \Rightarrow x= log 3 + 1$
e questa è giusta credo, ho problemi con la seconda e cioè:
$e^(-x-1)=3 \Rightarrow e^(-x)*e^(-1)=3 \Rightarrow e^(-x) = 3e^(-1) \Rightarrow log_(e) e^(-x) = log_(e) 3e^(-1) \Rightarrow log_(e)e^(-x) = log_(e)3+log_(e)e^(-1)$
poi come procedere per trovare la $x$ dato che ho $-x$?
(4): qui ho considerato due espressioni unite:
$log_(2)x-4>5$
$U$
$log_(2)x-4<-5$
ma senza successo...
per favore potete aiutarmi?
grazie mille.
ho le seguenti:
se cortesemente potreste aiutarmi
1)
$(2^(-2x)-2^(x+1))/(2^(x^2)-16) >= 0$
sol.: $]-infty;-2[U[-1/3; 2[$
2)
$(3^(4x-2))/(3^(x-2))-2*3^(2x+1)-(57)/(3^(1-x))+84 = 0$
sol.: $1;log_(3) 7$
3)
$e^(|x|-1)=3$
sol.: $1+log 3; -1-log 3$
4)
$|log_(2)x-4|>5$
sol.: $]0;1/22^9;+infty[$
ecco come ho proceduto però senza successo:
(1): nella (1) ho posto $2^x=t$ però gia da subito arrivano le difficoltà quando devo sostituitire a $2^(x^2)$ la $t$ come si fa?
e quindi di conseguenza mi sono fermato lì. quindi se potete darmi almeno l'impostazione iniziale che poi lo continuo io;
(2): nella (2) ho posto $3^x=t$ dopo aver effettuato alcuni passaggi, ecco quanto ho fatto ma poi mi sono bloccato:
$(3^(4x)/3^2)/((3^x)/(3^2)) - 2*(3^(2x))/(3) - 57/(3/3^x) + 84 = 0 \Rightarrow$
pongo $3^x = t \Rightarrow$
$t^4/9 * 9/t - (2t^2)/3 - 57/(3/t)+84 = 0 \Rightarrow$
$t^3-(2t^2)/3-(57t)/3+84 = 0 \Rightarrow$
mcm $(3t^3-2t^2-57t+252)/3 = 0 \Rightarrow$
semplifico il denom. $3t^3-2t^2-57t+252 = 0$
se fin qui come si procede oltre?
(3): nella (3) ho proceduto così:
$e^(x-1) = 3 \Rightarrow e* (e^x)/e = 3e \Rightarrow log e^x = log 3e \Rightarrow x= log 3 + log e \Rightarrow x= log 3 + 1$
e questa è giusta credo, ho problemi con la seconda e cioè:
$e^(-x-1)=3 \Rightarrow e^(-x)*e^(-1)=3 \Rightarrow e^(-x) = 3e^(-1) \Rightarrow log_(e) e^(-x) = log_(e) 3e^(-1) \Rightarrow log_(e)e^(-x) = log_(e)3+log_(e)e^(-1)$
poi come procedere per trovare la $x$ dato che ho $-x$?
(4): qui ho considerato due espressioni unite:
$log_(2)x-4>5$
$U$
$log_(2)x-4<-5$
ma senza successo...
per favore potete aiutarmi?
grazie mille.
Risposte
1) La sostituzione $2^x=t$ va bene per il numeratore.
Il denominatore lo puoi scrivere così: $2^(2^x)-2^4$.
2) Non ho controllato tutti i passaggi ma il secondo termine viene $-6*3^(2x)$...
3) Hai dimenticato il valore assoluto per cui devi distinguere i casi $x>0$ e $x<0$.
4) Ottieni: $log_2x>9$ e $log_2<-1$...
Il denominatore lo puoi scrivere così: $2^(2^x)-2^4$.
2) Non ho controllato tutti i passaggi ma il secondo termine viene $-6*3^(2x)$...
3) Hai dimenticato il valore assoluto per cui devi distinguere i casi $x>0$ e $x<0$.
4) Ottieni: $log_2x>9$ e $log_2<-1$...
nella 1) devi risolvere separatamente num e den, come dice MaMo, anche se al den viene $2^(x^2)-2^4$.
nella 2) c'è l'errore che ti è stato fatto notare (non è "fratto 3" ma "per 3").
nella seconda della 3) per eliminare $e^(-1)$ hai moltiplicato per $e^(-1)$ anziché per $e$ ...
nella 4) l'impostazione è corretta, e prosegue come ti è stato detto portando -4 al secondo membro ...
prova e facci sapere. ciao.
nella 2) c'è l'errore che ti è stato fatto notare (non è "fratto 3" ma "per 3").
nella seconda della 3) per eliminare $e^(-1)$ hai moltiplicato per $e^(-1)$ anziché per $e$ ...
nella 4) l'impostazione è corretta, e prosegue come ti è stato detto portando -4 al secondo membro ...
prova e facci sapere. ciao.
grazie mille. Ho risolto il resto tranne che nella (1) dove trovo difficoltà sempre nello stesso punto...
Comunque nella (2) veniva $t^3-6t^2-19t+84 = 0$ risolto con Ruffini sostituendo $t = 3$ e così via applicando sostituzioni etc... ed è uscito tutto bene;
Nella (3) è vero adaBTTLS!!
dovevo moltiplicare per $e$ forse ho fatto confusione con $e^-1$ perchè forse avrei potuto fare come segue: $(e^-x*e^-1)/(e^-1) = 3/e^-1 \Rightarrow e^x=3e$;
Nella (4) si è risolto il tutto con due sistemi il primo con:
I)
${(x>0),(x>2^9):}$
II)
${(x>0),(x<2^-1):}$
ero stato tratto in inganno poiche pensavo che $x-4$ fosse l'argomento del $log$.
bene così. grazie.
però ancora ci sono problemi nella (1).
potete aiutarmi ancora un pò?
ancora mille grazie.
Comunque nella (2) veniva $t^3-6t^2-19t+84 = 0$ risolto con Ruffini sostituendo $t = 3$ e così via applicando sostituzioni etc... ed è uscito tutto bene;
Nella (3) è vero adaBTTLS!!
dovevo moltiplicare per $e$ forse ho fatto confusione con $e^-1$ perchè forse avrei potuto fare come segue: $(e^-x*e^-1)/(e^-1) = 3/e^-1 \Rightarrow e^x=3e$;Nella (4) si è risolto il tutto con due sistemi il primo con:
I)
${(x>0),(x>2^9):}$
II)
${(x>0),(x<2^-1):}$
ero stato tratto in inganno poiche pensavo che $x-4$ fosse l'argomento del $log$.
bene così. grazie.
però ancora ci sono problemi nella (1).
potete aiutarmi ancora un pò?
ancora mille grazie.
prego.
per la prima, al numeratore, motiplica e dividi per $2^(2x)$, che comunque è sempre positivo ... dovresti ottenere $2^(3x)<=2^(-1)$ , se ho fatto bene i conti.
prova e facci sapere. ciao.
per la prima, al numeratore, motiplica e dividi per $2^(2x)$, che comunque è sempre positivo ... dovresti ottenere $2^(3x)<=2^(-1)$ , se ho fatto bene i conti.
prova e facci sapere. ciao.
ma nel numeratore posso sostituire la $2^x=t$ ottenendo quindi:
$1/t-2t>=0 \Rightarrow$
$mcm (1-2t^2)/t >= 0 \Rightarrow$
a) $1-2t^2 >= 0$
b) $t>0$
a) sol.: $-sqrt(2)/2<=t<=(sqrt(2))/2$
quindi ottengo un sistema così fatto:
${(2^x>=-sqrt(2)/2),(2^x<=sqrt(2)/2):} \Rightarrow$
${(AAx\in RR), (x<=1/2*log_2 -1):}$
e poi studio il segno
se non ho fatto errori....
il problema è nel denominatore.. quel $2^(x^2)$
tu comunque adaBTTLS come intendi fare il calcolo? mi faresti vedere gentilmente qualche tuo passaggio?
$1/t-2t>=0 \Rightarrow$
$mcm (1-2t^2)/t >= 0 \Rightarrow$
a) $1-2t^2 >= 0$
b) $t>0$
a) sol.: $-sqrt(2)/2<=t<=(sqrt(2))/2$
quindi ottengo un sistema così fatto:
${(2^x>=-sqrt(2)/2),(2^x<=sqrt(2)/2):} \Rightarrow$
${(AAx\in RR), (x<=1/2*log_2 -1):}$
e poi studio il segno
se non ho fatto errori....
il problema è nel denominatore.. quel $2^(x^2)$
tu comunque adaBTTLS come intendi fare il calcolo? mi faresti vedere gentilmente qualche tuo passaggio?
"lapoalberto77":
ma nel numeratore posso sostituire la $2^x=t$ ottenendo quindi:
$1/t-2t>=0 \Rightarrow$
$mcm (1-2t^2)/t >= 0 \Rightarrow$ sei sicuro che venga così? non è $t^2$ al denominatore?
a) $1-2t^2 >= 0$
b) $t>0$
.....................................
se non ho fatto errori....
il problema è nel denominatore.. quel $2^(x^2)$
tu comunque adaBTTLS come intendi fare il calcolo? mi faresti vedere gentilmente qualche tuo passaggio?
denominatore: $2^(x^2)-2^4>0 -> x^2>4 -> (x<-2 vv x>2)$ ... o no?
è vero!!! a parte il mio orrore che ora correggo...
riguardo il tuo passaggio alla fine ci voleva un pò più attenzione e si è rivelato banale, una normale disequazione esponenziale...
grazie mille, ora vedo di continuare da me!
riguardo il tuo passaggio alla fine ci voleva un pò più attenzione e si è rivelato banale, una normale disequazione esponenziale...
grazie mille, ora vedo di continuare da me!
prego. fammi sapere come va a finire. ciao.
ma moltiplicando e dividendo $2^(2x)$ dovrei ottenere qualcosa così fatta?:
$(2^(2x)*2^(-2x))/2^(2x) >= (2^(x+1)*2^(2x))/2^(2x) \Rightarrow$
$(2^(2x)*2^(-2x))/2^(2x) >= (2^x*2*2^(2x))/2^(2x)$
diciamo che qui ho un pò di difficoltà... diciamolo.
$(2^(2x)*2^(-2x))/2^(2x) >= (2^(x+1)*2^(2x))/2^(2x) \Rightarrow$
$(2^(2x)*2^(-2x))/2^(2x) >= (2^x*2*2^(2x))/2^(2x)$
diciamo che qui ho un pò di difficoltà... diciamolo.
no, io intendevo mettere in evidenza $1/(2^(2x))$, moltiplicando termine a termine per $2^(2x)$, cioè è la stessa cosa che avresti fatto anche tu chiamando $t=2^x$, con $t^2$ al denominatore. prova a ripartire correggendo l'errore. io te lo scrivo con il metodo alternativo, ma usalo solo per confronto:
a) numeratore: $2^(-2x)-2^(x+1)>=0 -> 2^(-2x)-2*2^x>=0 -> 2^(-2x)*(1-2*2^(3x))>=0$
da cui $2*2^(3x)<=1 -> 2^(3x) <= 1/2 -> 2^(3x)<=2^(-1) -> 3x<=-1 -> x<=-1/3$
b) denominatore: $2^(x^2)-16>0 -> ... -> x<-2 vv x>2$
soluzione: $x in (-oo, -2) uu [-1/3, 2)$, se non ho sbagliato i conti.
a) numeratore: $2^(-2x)-2^(x+1)>=0 -> 2^(-2x)-2*2^x>=0 -> 2^(-2x)*(1-2*2^(3x))>=0$
da cui $2*2^(3x)<=1 -> 2^(3x) <= 1/2 -> 2^(3x)<=2^(-1) -> 3x<=-1 -> x<=-1/3$
b) denominatore: $2^(x^2)-16>0 -> ... -> x<-2 vv x>2$
soluzione: $x in (-oo, -2) uu [-1/3, 2)$, se non ho sbagliato i conti.
perdonami ma non mi è ancora chiaro il tuo procedimento, in particolare cosa applichi per arrivare a questo passaggio, me lo scrivi?:
$2^(-2x)*(1-2⋅2^(3x))>=0$
sostituendo la $t$ se non ho sbagliato ancora, ottengo qualcosa di 3° grado che non riesco a risolvere:
$(1-2t^3)/t^2 >= 0$
prima cambio di segno, e poi pongo >= 0 numeratore e > 0 il denom. e poi?
$2^(-2x)*(1-2⋅2^(3x))>=0$
sostituendo la $t$ se non ho sbagliato ancora, ottengo qualcosa di 3° grado che non riesco a risolvere:
$(1-2t^3)/t^2 >= 0$
prima cambio di segno, e poi pongo >= 0 numeratore e > 0 il denom. e poi?
vedi che è esattamente la stessa cosa con $t$ ?
non è necessario cambiare segno. il numeratore è >=0 se e solo se $2t^3<=1$ cioè $t^3<=1/2$ cioè $t^3<=2^(-1)$.
se $t=2^x$, allora $t^3=(2^x)^3=2^(3x)$ dunque come avevo scritto io $2^(3x)<=2^(-1)$.
vale l'uguaglianza $2^(-2x)=1/(2^(2x))=1/(2^x)^2$, per cui non c'è differenza tra le due soluzioni.
non è necessario cambiare segno. il numeratore è >=0 se e solo se $2t^3<=1$ cioè $t^3<=1/2$ cioè $t^3<=2^(-1)$.
se $t=2^x$, allora $t^3=(2^x)^3=2^(3x)$ dunque come avevo scritto io $2^(3x)<=2^(-1)$.
vale l'uguaglianza $2^(-2x)=1/(2^(2x))=1/(2^x)^2$, per cui non c'è differenza tra le due soluzioni.
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