Aiuto simmetria assiale

[happykiller95]

trovare se esistono gli assi di simmetria della curva x^2 + y^2 - x + y -2 = 0

come faccio a risolvere questo problema?
grazie

Aggiunto 1 ore 20 minuti più tardi:

nooo, puoi spiegarmi questo concetto??, ovvero perchè è una circonferenza e come determino che gli assi sono infiniti, devo forse trovare il centro della circonferenza?? se devo farlo come si fa?

Aggiunto 2 ore 35 minuti più tardi:

ciao grazie di tutto, comunque mi sono messo un po a sfogliare il libro e ho trovato questa formula

c (-a/2;-b/2)

e viene il risultato che dici tu.
Poi, possiamo dire che essendo una circonferenza, tutti i segmenti che passano per questo punto sono assi di simmetria, ovvero infiniti.
E' corretto?

[BIT5]

la curva che hai espresso e' una circonferenza.

Gli assi di simmetria sono infiniti e sono i diametri.

Avete fatto la circonferenza?

Aggiunto 1 ore 7 minuti più tardi:

se non hai fatto la circonferenza, bisogna calcolare l'asse in altra maniera.

Dobbiamo trovare un retta (se esiste) tale che tutti i punti opposti ad essa siano equidistanti.

Se questo accade, allora hai trovato l'asse di simmetria.

Per prima cosa dobbiamo verificare se esiste un centro di simmetria. Se esiste, da questo centro passera'/anno l'/gli asse/i di simmetria

Sappiamo che, se esiste un centro di simmetria, allora la distanza di tutti i punti della curva dal centro di simmetria e' costante.

Chiamiamo

[math] (x_P,y_P)[/math]

le coordinate di un punto generico, e

[math] (x',y') [/math]

le coordinate del suo simmetrico (se esiste)

Chiamiamo

[math] x_C,y_C[/math]

le coordinate dell'eventuale centro di simmetria che, se esiste, stiamo cercando.

il centro di simmetria sara' il punto medio tra il punto P e il suo simmetrico, quindi

[math] x_C = \frac{x_P+x'}{2} \to x'=-x_P+2x_C \\ \\ \\ \\ y_C= \frac{y_P+y'}{2} \to y'=-y_P+2x_C [/math]

Noi abbiamo dunque una curva e vogliamo vedere se esiste un punto (centro)tale che, con un'opportuna sostituzione, restituisca di nuovo dei punti appartenenti alla curva.

Prendiamo dunque la curva con i suoi punti simmetrici

[math] x'^2+y'^2-x'+y'-2=0 [/math]

e sostituiamo quanto scritto sopra

[math] (-x_P+2x_C)^2+(-y_P+2y_C)^2-(-x_P+2x_C)+(-y_P+2y_C)-2=0 [/math]

facciamo ora i conti (eleviamo al quadrato i binomi ecc ecc)

[math] x_P^2-4x_Px_C+4x_C^2+y_P^2-4y_Py_C+4y_C^2+x_P-2x_C-y_P+2y_C-2=0 [/math]

(ricordati che le coordinate del centro sono quelle che fanno in modo che x_P e y_P prendano il posto di x' e y'... Quindi le variabili sono x_P e y_P mentre x_C e y_C devono essere trattate come valori finiti)

Quindi ordiniamo secondo le potenze delle variabili x_P e y_P

[math]x_P^2+y_P^2-x_P(4x_C-1)+y_P(-1-4y_C)+4x_C^2+4y_C^2-2x_C+2y_C-2=0 [/math]

come vedi, se vuoi tornare alla funzione originale, dovra' essere:

[math] \{4x_C-1=1 \\ -1-4y_C=1 \\ 4x_C^2+4y_C^2-2x_C+2y_C-2=-2 [/math]

cosi' facendo, se esistono dei valori di x_C e y_C che rendono vere le tre equazioni, torneremmo ad avere la circonferenza originaria.

Risolvendo le prime due equazioni trovi

[math] x_C= \frac12 \ \ \ \ \ \ y_C=- \frac12 [/math]

se sostituisci questi due valori alla terza equazione, e' verificata.

Pertanto il centro di simmetria esiste, ed e'

[math] C \( \frac12 , - \frac12 \) [/math]

A questo punto si puo' sperare (perche' non e' detto) che esista anche alemno un asse di simmetria.

Fino a qua ci sei?

Aggiunto 2 ore 55 minuti più tardi:

Allora la circonferenza l'avete fatta eccome!

E io che mi sono scervellato per trovare una dimostrazione alternativaaaaaaa

Tutte le curve della forma

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

sono circonferenze di centro

[math] C \( - \frac{a}{2} , - \frac{b}{2} \) [/math]

e raggio

[math] r= \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \( - \frac{b}{2} \)^2 - c } [/math]

ovvero in sintesi

[math] r= \sqrt{ x_C^2 + y_C^2-c} [/math]

Viene definita circonferenza il "luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro" la cui distanza e' definita "raggio".

La circonferenza ha infiniti raggi, infiniti diametri che sono infiniti assi di simmetria.

Cosi' ci avrei messo mooooooooolto meno