Aiuto serie di maclaurin

[grimlock]

Ciao a tutti, ecco il mio problema:

ho una serie di Maclaurin:

[math]\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{n!}*x^k[/math]

con x>0

come si dimostra che:

SE

[math]\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{n!}*x^k = 0[/math]

ALLORA

[math] f^{(0)} = f^{(1)} = \frac{f^{(2)}(0)}{2} = ... = 0[/math]

grazie mille per l'aiuto!

[Cherubino]

Direi che a questo punto dopo 28 giorni magari la risposta non ti serve,
ma d'altronde è brutto un post senza risposta, soprattutto per una domanda interessante.

E' sufficiente che fai le derivate dello sviluppo nel punto zero:
fatta la derivata n esima, i primi n termini spariscono (derivi un polinomo di grado inferiore), rimane il termine

[math]f^{(n)}[/math]

,
mentre quelli dopo sono zero (è un polinomio omegeneo calcolato in 0);
al secondo membro è 0.

Quindi

[math]f^{(n)} = 0[/math]

, per ogni n.

(in realtà ho implicitamente fatto entrare la derivata dentro la serie; tipicamente è una cosa illegale, ma sotto opportune condizioni si mostra che si può fare; mi sembra che se una funzione è esprimibile come serie di potenze si possa sempre fare, ma magari un matematico conosce meglio questi dettagli)

[mitraglietta]

bene chiudo il thread, il mitico cherubino ha dato come sempre un'ottima risposta.