Aiuto problema sull'iperbole

[comet1]

" L'iperbole x[xx(]/a[xx(]-y[xx(]/b[xx(] = 1 ha l'eccentricità uguale a 2 e passa per il punto (1; -1). Scrivere l'eq. dell'iperbole e calcolare la lunghezza del segmento intercettato dall'iperbole sulla retta 2x-y-1=0. "

L'esercizio fa capire che si tratta di un'iperbole coi fuochi sull'asse x, quindi e=c/a, ma io mi blocco nella risoluzione del sistema [V]

Grazie per l'aiuto![;)]

[fireball1]

eccentricità = c/a; in questo caso
c/a = 2 ==> (c/a)^2 = 4 ==> c^2/a^2 = 4
inoltre è anche: c^2 = a^2 + b^2
Dunque si ha il sistema:
{1/a^2 - 1/b^2 = 1
{c^2/a^2 = (a^2 + b^2)/a^2 = 4
La seconda equazione si può modificare così:
a^2/a^2 + b^2/a^2 = 4 ==> 1 + b^2/a^2 = 4 ==> b^2/a^2 = 3
da cui si ricava: b^2 = 3a^2
Sostituendo nella prima equazione si ha:
1/a^2 - 1/(3a^2) = 1
Risolvendo questa si trova a^2 = 2/3 , quindi: b^2 = 2
L'equazione dell'iperbole è dunque:
3/2 x^2 - y^2/2 = 1
ovvero: 3x^2 - y^2 = 2