AIUTO PROBLEMA GEOMETRIA !!

[jessmar2022]

Ecco l'esercizio:
Dimostra che, se due triangoli hanno congruenti un angolo, la mediana relativa a uno dei lati adiacenti a esso e l'angolo tra la mediana e il lato, allora sono congruenti.

GRAZIE IN ANTICIPO

[brainly01]

Salve,
iniziamo a scrivere le ipotesi e la tesi, e a disegnare i triangoli come in figura.
[/url]

Hp: AB = A'B' ; AC = A'C' ; MC = M'C'
Th: ABC(triangolo) = A'B'C'(triangolo)

Dimostrazione.

Osserviamo i triangoli AMC e A'M'C'.
Essi hanno:
1) AM = A'M' perché congruenti alla metà di due lati congruenti per ipotesi (M e M' sono punti medi);
2) MC = M'C' per ipotesi;
3) AC = A'C' per ipotesi.
Quindi i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio di congruenza:
AMC(triangolo) = A'M'C'(triangolo)
Ne segue che anche:
AMC(angolo) = A'M'C'(angolo).

Ora consideriamo i triangolo MBC e M'B'C'.
Essi hanno:
1) MB = M'B' perché congruenti alla metà di due lati congruenti per ipotesi (M e M' sono punti medi);
2) MC = M'C' per ipotesi;
3) CMB(angolo) = C'M'B'(angolo) perché adiacenti e supplementari di due angoli congruenti;
Allora per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti: MBC(triangolo) = M'B'C'(triangolo)
Ne segue che BC = B'C'

Di conseguenza i triangoli ABC e A'B'C' avendo tre lati corrispondenti congruenti, sono congruenti per il terzo criterio di congruenza.

c.v.d.

Saluti

[anna.supermath]

Ciao, ti scrivo la soluzione.
Fai riferimento al file che ti ho allegato per ragionare sui triangoli e per leggere la dimostrazione.
Ipotesi
Gli angoli CAB e

[math]
C_1A_1B_1
[/math]

; sono uguali (evidenziati in nero)
Le mediane

[math]
CM e C_1M_1
[/math]

; sono uguali,

[math]
CM = C_1M_1
[/math]

Gli angoli CMA e

[math]
C_1M_1A_1
[/math]

sono uguali (evidenziati in verde)
Tesi
I triangoli ABC e

[math]
A_1B_1C_1
[/math]

sono congruenti.
Dimostrazione
Considera i triangoli ACM e

[math]
A_1C_1M_1
[/math]

, questi sono uguali per il secondo criterio di congruenza dei triangoli:

[math]
CM = C_1M_1
[/math]

per ipotesi
Gli angoli

[math]
CMA e C_1M_1A_1
[/math]

sono uguali (evidenziati in verde) per ipotesi
Gli angoli CAM e

[math]
C_1A_1M_1
[/math]

sono uguali (evidenziati in nero) per ipotesi, sono gli stessi CAB e

[math]
C_1A_1B_1
[/math]

Ovviamente il terzo angolo (

[math]
ACM = A_1C_1M_1
[/math]

) risulta uguale per differenza di angoli uguali.
Adesso si considerino i triangoli CMB e

[math]
C_1M_1B_1
[/math]

, conseguentemente alla precedente dimostrazione (triangoli ACM e

[math]
A_1C_1M_1
[/math]

) si ha che sono congruenti in quanto:
gli angoli CMB e

[math]
C_1M_1B_1
[/math]

sono uguali,

[math]
CMB = C_1M_1B_1
[/math]

supplementari di angoli uguali,

[math]
CAM = C_1A_1M_1
[/math]

.
Inoltre si ha che
AM = MB e

[math]
A_1M_1 = M_1B_1
[/math]

, ma

[math]
AM = A_1M_1
[/math]

quindi

[math]
MB = M_1B_1
[/math]

Infine

[math]
CM = C_1M_1
[/math]

per ipotesi.
Se ne conclude che i triangoli CMB e

[math]
C_1M_1B_1
[/math]

sono uguali per il primo criterio di congruenza dei triangoli.
Conseguentemente

[math]
CB = C_1B_1
[/math]

Se adesso torniamo a considerare i triangoli ABC e

[math]
A_1B_1C_1
[/math]

; si afferma che questi hanno tutti e tre i lati uguali, in base alle due precedenti dimostrazioni che provano la congruenza fra i triangoli ACM e

[math]
A_1C_1M_1
[/math]

e fra i triangoli CMB e

[math]
C_1M_1B_1
[/math]

.
Per cui i triangoli ABC e

[math]
A_1B_1C_1
[/math]

; sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli.
Se hai domande, chiedi pure.