Aiuto per ultimo problema di Trigonometria

[DaemonRyuk]

Ciao a tutti!
Ormai sono in partenza e volevo ringraziare il forum per l'aiuto che ho ricevuto (davvero preziosissimo!).
Mi è rimasto solo un ultimo problema che non riesco a risolvere in nessun modo.... Allora approfitto ancora una volta delle vostre capacità.... Poi, per il concorso, toccherà a me dimostrarmi alla vostra altezza!

Ecco il problema:
In una semicirconferenza di diametro AB=2r è condotta la corda CD=r parallela al diametro (e con A più vicino a C). Determinare sull'arco BD un punto E in modo che, condotta da C la semiretta CE fino ad incontrare in F il prolungamento del diametro, si abbia:

$\frac{CE}{CD}+\frac{EF}{BF}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Stavolta c'è solo buio. L'unica cosa che ho ricavato è che l'angolo al centro sulla corda CD è uguale a 60°.
Come sempre, grazie infinite per l'aiuto.

[chiaraotta1]

In figura sono fissi l'angolo $BhatOC=2/3pi$ e $OhatCH=pi/6$.



Allora, posto $BhatOE=2x$, con $0<2x $EhatOC=2/3pi-2x$,
$OhatCE=(pi-EhatOC)/2=1/2(pi-2/3pi+2x)=pi/6+x$,
$HhatCE=HhatCO+OhatCE=pi/6+pi/6+x=pi/3+x$,
$KhatEF=HhatCE=pi/3+x$.

Quindi:
$bar(CE)=2*r*sin((EhatOC)/2)=2*r*sin(pi/3-x)$,
$bar(EK)=r*sin(2x)$,
$bar(OK)=r*cos(2x)$,
$bar(EF)*cos(pi/3+x)=bar(EK)->bar(EF)=bar(EK)/cos(pi/3+x)=(r*sin(2x))/cos(pi/3+x)$,
$bar(KF)/bar(EK)=tan(pi/3+x)->bar(KF)=bar(EK)*tan(pi/3+x)=r*sin(2x)*tan(pi/3+x)$,
$bar(BF)=bar(KF)-bar(KB)=bar(KF)-(bar(OB)-bar(OK))=r*sin(2x)*tan(pi/3+x)-r+r*cos(2x)$.

Allora
$bar(CE)/bar(CD)=(2*r*sin(pi/3-x))/r=2*sin(pi/3-x)=2*(sqrt(3)/2*cos(x)-1/2*sin(x))=sqrt(3)*cos(x)-sin(x)$,
$bar(EF)/bar(BF)=(r*sin(2x)/cos(pi/3+x))/(r*sin(2x)*tan(pi/3+x)-r+r*cos(2x))=$
$sin(2x)/(cos(pi/3+x)*(sin(2x)*tan(pi/3+x)-1+cos(2x)))=2/3sqrt(3)*cos(x)$.

Quindi l'equazione
$bar(CE)/bar(CD)+bar(EF)/bar(BF)=5/3*sqrt(3)$
diventa
$sqrt(3)*cos(x)-sin(x)+2/3sqrt(3)*cos(x)=5/3*sqrt(3)->5/3*sqrt(3)*cos(x)-sin(x)=5/3sqrt(3)->$
$5*sqrt(3)*cos(x)-3*sin(x)=5*sqrt(3)$, con $0
Le soluzioni sarebbero $x=0$ e $x=-2*arctan(sqrt(3)/5)$, ma entrambe non sono accettabili.