Aiuto mate (258075)

[francescotonnarini]

Salve ragazzi sono nuovo al sito volevo chiedervi se qualcuno sa risolvermi questo quesito di matematica: data l’iperbole di equazione y=1/X è la parabola di equazione y=ax^2+bx e detto P il punto di ascissa t dell’iperbole ricava i valori di a e b per i quali l’iperbole e la parabola sono tangenti nel punto P

[BIT5]

il punto P ha coordinate generiche (x,y)
dal momento che esso appartiene all'iperbole, e di esso conosciamo l'ascissa (t), possiamo ricavare l'ordinata (che sara' 1/t, sostituendo l'ascissa all'equazione dell'iperbole).

La parabola generica y=ax^2+bx, passerà per P se le sue coordinate ne soddisfano l'equazione, quindi

1/t=at^2+bt

(ricordati che t è un valore, e va trattato come fosse un numero...)

Da cui ricaviamo 1=at^3+bt^2

at^3=1-bt^2 -->

[math] a= \frac{1-bt^2}{t^3} [/math]

La parabola sarà dunque della forma

[math] y=\frac{1-bt^2}{t^3}x^2+bx[/math]

A questo punto troviamo i punti di intersezione tra l'iperbole e la parabola, mettendo a sistema e sostituendo a y il valore 1/x otteniamo

[math] \frac{1}{x} = \frac{1-bt^2}{t^3}x^2+bx \to 1= \frac{1-bt^2}{t^3}x^3+bx^2 \to (1-bt^2)x^3+bt^3x^2-t^3=0 [/math]

Come puoi vedere, l'equazione avrà al massimo 3 soluzioni (e' un'equazione di terzo grado).

Quindi la parabola intersecherà l'iperbole in tre punti (cosa abbastanza naturale, in quanto l'iperbole ha due rami).

Risolviamo l'equazione

[math] (1-bt^2)x^3+bt^3x^2-t^3=0 [/math]

Sappiamo che x=t è sicuramente soluzione dell'equazione, in quanto abbiamo posto tra le condizioni che x=t appartenga sia alla parabola che all'iperbole.

Pertanto

[math] (1-bt^2)x^3+bt^3x^2-t^3 [/math]

e' divisibile per (x-t) e possiamo dividere con Ruffini

Scriveremo in alto nella griglia

1-bt^2
bt^3
0

e a destra il termine noto t^3

Scriveremo t nel campo divisore e troveremo come coefficienti

1-bt^2
t
t^2

Pertanto

[math] (1-bt^2)x^3+bt^3x^2-t^3=0 \to ((1-bt^2)x^2+tx+t^2)(x-t)=0[/math]

Che ha soluzioni per x=t (e lo sapevamo) sempre, soluzione indipendente dal parametro.

E per (1-bt^2)x^2+tx+t^2=0

Affinché iperbole e parabola siano tangenti in P, una delle due soluzioni di questa equazione, dovra' essere x=t

Dunque

sostituiamo dunque a x il valore t e otteniamo

(1-bt^2)t^2+t^2+t^2=0 da cui

t^2-bt^4+t^2+t^2=0 e quindi

bt^4-3t^2=0

[math] b=\frac{3}{4t^2} [/math]

sostituendo alla parabola il valore trovato (a lo avevamo già trovato in funzione di b) otterremo quanto cercato

Il procedimento è corretto. Spero di non aver fatto errori di calcolo :D