Aiuto limite fratto tendente ad un valore finito

[lorenzo231312]

Salve , da giorni la verifica di questo limite mi tormenta:
$lim_(h->-2)x/(x+1) = 2 $


l'intervallo che ho trovato è :

-]2-εx-ε;-2 -εx+ε]

non sono sicuro del procedimento che ho seguito. mi potreste guidare verso una soluzione?

[StellaMartensitica]

"lorenzo231312":l'intervallo che ho trovato è : -]2-εx-ε;-2 -εx+ε]

Hai fatto una specie di pasticcio di simboli.
Anzitutto suppongo tu abbia confuso $x$ e $h$, e che quindi il limite sia così:

$ lim_(x->-2)[x/(x+1)] = 2 $

La definizione di limite finito di una funzione in un punto è:
$\forall \epsilon>0 \exists I(x_0) : |f(x)-l|<\epsilon, \forall x in I(x_0)- {x_0}$
Quindi, con le opportune sostituzioni:
$\forall \epsilon>0 \exists I(-2) : |f(x)-2|<\epsilon, \forall x in I(-2)$

La tua $f(x)$ è $f(x)=x/(x+1)$

Procedo con la verifica della definizione appena riportata:

$-\epsilon< x/(x+1) - 2<\epsilon$

Deve potermi dare un intorno $I(-2)$.

Passo al sistema

$\{(x/(x+1)-2<\epsilon),(x/(x+1)-2> -\epsilon):}$

Prendo la prima delle due:

$x/(x+1)-2<\epsilon$

$(x-2x-2)/(x+1)<\epsilon$

$(-x-2)/(x+1)<\epsilon$

$(-x-2-\epsilon*x-\epsilon)/(x+1)<0$

$((-1-\epsilon)*x-2-\epsilon)/(x+1)<0$

Il numeratore è positivo per

$(-1-\epsilon)*x-2-\epsilon>=0$

$(-1-\epsilon)*x>2+\epsilon$

Attensione adesso è il punto più importante $-1-\epsilon$ è negativo (in quanto $\epsilon$ è positivo quindi se divido ambo i membri per una quantità negativa devo cambiare il verso.

$x<(2+\epsilon)/(-1-\epsilon)$

Moltiplico sopra e sotto per $-1$ (proprietà invariantiva delle frazioni)

$x<-(2+\epsilon)/(1+\epsilon)$

spezzo $\epsilon=2*\epsilon-\epsilon$

$x<-(2+2\epsilon-\epsilon)/(1+\epsilon)$

divido:

$x<-2+\epsilon/(1+\epsilon)$
Adesso vedo il denominatore di questa: $((-1-\epsilon)*x-2-\epsilon)/(x+1)<0$
Il denominatore è positivo per $x> -1$

Prova ora a fare i quadro dei segni e a risolvere anche l'altra.

[lorenzo231312]

Ciao , grazie per la tua risposta. Adesso mi è chiaro gran parte del procedimento.
Mi potresti fare un ultimo piacere ?
La riga dei segni la devo fare fra quali valori?

[StellaMartensitica]

La riga dei segni per la prima disequazione la fai per $x= -1$ e $x=-2+\epsilon/(1+\epsilon)$, chiaramente hai che:

$-2+\epsilon/(1+\epsilon)<-1$. Poi intersechi le soluzioni delle due disequazioni come prevede il sistema.

[lorenzo231312]

Grazie finalmente ho capito .


Posso cogliere l'occasione per chiederti la spiegazione di un'altra verifica?

Lim(x^2-3x)=0
X--->0

Grazie mille

[StellaMartensitica]

$lim_(x->0)[x^2-3x]=0$

$|x^2-3x-0|<\epsilon$

$\{(x^2-3x<\varepsilon),(x^2-3x> -\varepsilon):}$
Prova continuare tu. Devi cercare un intorno di $x_0=0$.