Aiuto limite

[GiorgioF1]

E' banale ma dei limiti non ho capito niente...

$lim_(x->\infty)(1+2/x)^x$

Tende a infinito ma non so come si scrive

[Gatto891]

Poni x = 2y, guarda che salta fuori...

[olaxgabry]

Sul fatto che tenda ad infinito non ci giurerei (a prima vista dovrebbe venire $e^2$). Cmq il limite lo puoi scrivere anche come

$lim_(x->+\infty)(1+2/x)^x=lim_(x->+\infty)e^(xln(1+2/x))$

Per risolvere il limite basta che calcoli

$lim_(x->+\infty) [xln(1+2/x)]$

E' una forma indeterminata del tipo $0*\infty$: puoi usare De L'Hospital se porti $x$ al denominatore, cioè scrivi il limite come

$lim_(x->+\infty)ln(1+2/x)/(1/x)$

Ora hai una forma indeterminata del tipo $0/0$ per cui puoi usare tranquillamente la regola di De L'Hospital (che credo tu abbia fatto).
Ciao

[neopeppe89]

Guarda...penso tu abbia studiato il limite che dà come risultato $e$ altrimenti non t avrebbero dato questo esercizio !
se tu sai quanto vale e la sua forma "canonica" sostituisci le variabili come ha detto Gatto e vedi che viene immediata
cmq il mio intervento serve a consigliarti.......tanto studiooooooooo!!

[doremifa1]

tenendo presente il limite notevole $lim_(x->+\infty)(1+eta/x)^x = e^(eta)$ la soluzione è immediata, ossia $e^2$

[GiorgioF1]

Ok, vi ringrazio ragazzi, quindi nella risoluzione di un limite posso sostituire la x con qualcosa che mi semplifichi l'espressione?

[Gatto891]

Certo, basta che poi ti ricordi di controllare il limite (per esempio, se il limite tende ad infinito e poni t = 1/x , dovrai considerare che t non tende ad infinito ma a 0 quando fai il nuovo limite per t).

In questo caso, semplicemente, con $x = 2y$ ti viene:

$lim_(x->\infty)(1 + 2/x)^x = lim_(y->\infty)(1+y)^{2y} = lim_(y->\infty)[(1+y)^y]^2$ e qui dovresti riconoscere il limite notevole...

[Steven11]

Ti consiglio di leggere questo esercizio svolto che fa proprio al caso tuo.
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... 709271737/

Ciao!