Aiuto! Limite ...

[Mikepicker]

Salve a tutti,

non riesco a risolvere il seguente limite

$lim_(x->0)sqrt(1-cosx)/x$

Grazie anticipatamente

[MaMo2]

Moltiplica numeratore e denominatore per $sqrt(1+cosx)$.

[Mikepicker]

ok, una volta fatta la razionalizzazione diviene:

$1-cos^2x/x(1+cosx)$

quindi

$sin^2x/x(1-cosx)$

ma secondo i limiti notevoli $sinx/x=1$

quindi diventa:

$sinx/(1-cosx)$

ma dovrebbe venire $sqrt2/2$ ...

[MaMo2]

"Mikepicker":ok, una volta fatta la razionalizzazione diviene:

$1-cos^2x/x(1+cosx)$
...

No, viene $sqrt(1-cos^2x)/(xsqrt(1+cosx))$...

[Mikepicker]

ok .. quindi verrebbe:

$(sqrt(sin^2x))/(xsqrt(1+cosx))$

e poi:

$sinx/(xsqrt(1+cosx))$

poi ho visto che $sinx/x=1$ ...

[@melia]

"Mikepicker":ok .. quindi verrebbe: $(sqrt(sin^2x))/(xsqrt(1+cosx))$ e poi: $sinx/(xsqrt(1+cosx))$.

È quasi giusto, infatti $sqrt(sin^2x)=|sinx|$, quindi $lim_(x->0-)|sinx|/(xsqrt(1+cosx))=lim_(x->0^-)-sinx/(xsqrt(1+cosx))=-sqrt2/2$, mentre $lim_(x->0^+)|sinx|/(xsqrt(1+cosx))=lim_(x->0^+) sinx/(xsqrt(1+cosx))=sqrt2/2$

[Mikepicker]

ok .. però non capisco l'ultimo passaggio ...

[@melia]

Non so che cosa intendi per ultimo passaggio.
È comunque importante che ti focalizzi sul fatto che $sqrt(sin^2x)=|sinx|$, una volta stabilita questa cosa ti rendi subito conto che il limite non può essere calcolato, ma che esistono distinti il limite destro e quello sinistro. Per togliere il valore assoluto è necessario conoscere il segno di $senx$, quando $x->0^+$ il seno è positivo ed è possibile togliere il modulo, ma quando $x->0^-$ per togliere il modulo è necessario cambiare di segno l'argomento perché è negativo.

A questo punto una volta tolti i valori assoluti ho applicato il limite notevole $lim_(x->0) sinx/x=1$ che vale sia a $0^+$ che a $0^-$, una volta isolato il limite notevole rimane solo $+-1/(sqrt(1+cosx))=+-1/sqrt2=+- sqrt2/2$

Ho chiarito o rimangono ancora dei dubbi?

[Mikepicker]

no no lato destro e sinistro l'avevo capito, non mi era chiaro come si arrivasse a $sqrt2/2$ ma ora ho capito.

Grazie mille

siete favolosi