Aiuto limite

[Studente Anonimo]

Buonasera, avrei bisogno di aiuto con il seguente limite. Tutti i risolutori usano de l'Hôpital ma non devo usarlo. Probabilmente si deve applicare il logaritmo, ma non ho capito come va fatto. Tento di ricondurre alla forma del limite notevole (1+1/x)^x = e ma non mi va di fare la sostituzione con tg^2x = 1/y x=arctg(✓(1/y)) viene troppo scomodo, probabilmente è tutt'altro che si deve fare https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... %2B1%29%29

[ingres]

Posto $f(x)=(1+tg^2x)^(1/(xln(x+1))$ potresti usare $f(x) = e^ln(f(x))$ e quindi lavorare di limiti notevoli sull'esponente.

[apatriarca]

Direi che prima di tutto si può partire da osservare che \(a^b = e^{b\log(a)}\). Per cui nel tuo caso abbiamo che
\[ \lim_{x \to 0}\,\big(1 + \tan^2(x)\big)^{x\,log(x + 1)} = e^{\log(1 + \tan^2(x))/(x\,\log(x + 1))} \]
A questo punto puoi limitarti a calcolare il limite dell'esponente.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + \tan^2(x))}{x\,\log(x + 1)} \]
Suppongo che a questo punto si possa ricorrere ai limiti notevoli osservando che \(\log(x + 1) \sim x\) e che \(\log(1 + \tan^2(x)) \sim \tan^2(x) \sim x^2\). Tuttavia il tutto non è probabilmente tanto diverso da usare l'Hôpital..

EDIT: Con \(\log(x + 1) \sim x\) intendo dire che \( \lim_{x \to 0} \log(x + 1)/x = 1 \) per cui moltiplicando e dividendo per \(x\) l'espressione possiamo sostituire \(\log(x + 1)\) con \(x\).. Lo stesso per l'altra espressione ottenendo \(x^2/x^2 = 1\).