Aiuto limite
Buonasera ragazzi, mi servirebbe un aiutino su un particolare limite in cui mi sono imbattuto. E' questo qui:
$ lim_{n \to \infty}(1/sqrt(n^2)+1/sqrt(n^2+1)+...+1/sqrt(n^2+3n)) $
So solo che il risultato è 3. Potreste aiutarmi a risolverlo?? Grazie in anticipo.
$ lim_{n \to \infty}(1/sqrt(n^2)+1/sqrt(n^2+1)+...+1/sqrt(n^2+3n)) $
So solo che il risultato è 3. Potreste aiutarmi a risolverlo?? Grazie in anticipo.
Risposte
Sicuro?
Certo, è nel capitolo del mio libro di matematica sulle successioni e sulle serie. Ovviamente va usata la sommatoria però è una serie che non ho mai visto.
Presenta la serie.
Sia $(a_n)_(ninNN)$ una successione:
$lim_(k->+infty)(a_n+a_(n+1)+...+a_(n+k)),ninNN$ è una cosa,
$lim_(n->+infty)(a_n+a_(n+1)+...+a_(n+k)),k inNN$ è un'altra cosa.
Diciamo che la prima è una serie vera è propria, dunque il limite della successione delle somme parziali.
Nella seconda invece, una volta fissato $k$ la somma è quella e mandi a limite diciamo la variabile.
Intendiamoci: la prima sicuramente non è una somma infinita, ma intendiamo che continuando ad aggiungere termini della successione, ci avviciniamo sempre di più ad un valore limite.
Nella seconda invece diciamo semplicemente che una volta fissato $k$ otteniamo una somma di, in questo caso, $k+1$ termini e dopodiché calcoliamo il limite di questa somma.
Nota che:
La prima è $sum_(j=0)^(infty)a_(n+j)$ con $n$ fissato
La seconda è $lim_(n->+infty)sum_(j=0)^(k)a_(n+j)$ con $k$ fissato
Per esempio:
$sum_(n=0)^(+infty)(1/2)^n=1$
$lim_(n->+infty)[(1/2)^n+(1/2)^(n+1)+...+(1/2)^(n+2017)]=0$
A meno che non intendessi qualcosa del genere:
$lim_(k->+infty)[(1/2)^n+...+(1/2)^(n+k)]=1/2^n lim_(k->+infty)sum_(j=0)^(k)(1/2)^j$
...
Non ho nemmeno la più pallida idea del perché mi sono dilungato così tanto
Ovviamente ho usato 'IL' e non 'UN' limite perché i limiti delle successioni li calcoliamo solo a $+infty$
Sia $(a_n)_(ninNN)$ una successione:
$lim_(k->+infty)(a_n+a_(n+1)+...+a_(n+k)),ninNN$ è una cosa,
$lim_(n->+infty)(a_n+a_(n+1)+...+a_(n+k)),k inNN$ è un'altra cosa.
Diciamo che la prima è una serie vera è propria, dunque il limite della successione delle somme parziali.
Nella seconda invece, una volta fissato $k$ la somma è quella e mandi a limite diciamo la variabile.
Intendiamoci: la prima sicuramente non è una somma infinita, ma intendiamo che continuando ad aggiungere termini della successione, ci avviciniamo sempre di più ad un valore limite.
Nella seconda invece diciamo semplicemente che una volta fissato $k$ otteniamo una somma di, in questo caso, $k+1$ termini e dopodiché calcoliamo il limite di questa somma.
Nota che:
La prima è $sum_(j=0)^(infty)a_(n+j)$ con $n$ fissato
La seconda è $lim_(n->+infty)sum_(j=0)^(k)a_(n+j)$ con $k$ fissato
Per esempio:
$sum_(n=0)^(+infty)(1/2)^n=1$
$lim_(n->+infty)[(1/2)^n+(1/2)^(n+1)+...+(1/2)^(n+2017)]=0$
A meno che non intendessi qualcosa del genere:
$lim_(k->+infty)[(1/2)^n+...+(1/2)^(n+k)]=1/2^n lim_(k->+infty)sum_(j=0)^(k)(1/2)^j$
...
Non ho nemmeno la più pallida idea del perché mi sono dilungato così tanto
Ovviamente ho usato 'IL' e non 'UN' limite perché i limiti delle successioni li calcoliamo solo a $+infty$
Si, so perfettamente la differenza, ma come puoi notare in questa sommatoria dipendono da n sia la successione (dove compare al denominatore) sia il numero dei termini sommati (che è 3n). Quindi è un miscuglio dei due esempi che hai presentato, ed è per questo che non la so risolvere.
Da profano dell'argomento propongo una soluzione un po' così ... 
Possiamo notare che $1/sqrt(n^2)>1/sqrt(n^2+1)>1/sqrt(n^2+2)>...>1/sqrt(n^2+3n)$ il che equivale a dire che la nostra somma $S_(3n+1)$ è inferiore a $(3n+1)*1/n$ cioè $3+1/n>S_(3n+1)$; il limite all'infinito del membro di sinistra è $3$ (dall'alto).
D'altra parte è $n^2+3n=n(n+3)$ che al limite equivale a $n^2$ perciò all'infinito il limite di $1/sqrt(n^2+3n)$ è pari a $1/n$ (dal basso cioè inferiore a $1/n$) quindi al limite la sommatoria vale $(3n+1)*1/n$ ovvero $3$ dal basso.
La conclusione è che la sommatoria, all'infinito è stretta tra due "successioni" il cui limite è $3$.
Che ve ne pare?
Cordialmente, Alex
Possiamo notare che $1/sqrt(n^2)>1/sqrt(n^2+1)>1/sqrt(n^2+2)>...>1/sqrt(n^2+3n)$ il che equivale a dire che la nostra somma $S_(3n+1)$ è inferiore a $(3n+1)*1/n$ cioè $3+1/n>S_(3n+1)$; il limite all'infinito del membro di sinistra è $3$ (dall'alto).
D'altra parte è $n^2+3n=n(n+3)$ che al limite equivale a $n^2$ perciò all'infinito il limite di $1/sqrt(n^2+3n)$ è pari a $1/n$ (dal basso cioè inferiore a $1/n$) quindi al limite la sommatoria vale $(3n+1)*1/n$ ovvero $3$ dal basso.
La conclusione è che la sommatoria, all'infinito è stretta tra due "successioni" il cui limite è $3$.
Che ve ne pare?
Cordialmente, Alex
Grazie infinite axpgn. E' un po' spartana come dimostrazione ma carina 
. Se ci sono altre risoluzioni, scrivete pure.
. Se ci sono altre risoluzioni, scrivete pure.
@alex
Secondo me è corretto
Il problema è che non riesco a inquadrare la serie, cioè:
$sum_(k=0)^(infty)1/sqrt(n^2+k)$ è l'unica che mi viene
In poche parole sarebbe una successione del tipo $a_k$ con $n$ fissato.
Il problema è che mi puzza il fatto che ci il termine quadratico rimanga uguale e che la somma si fermasse a $3n$. Magari sto elucubrando inutilmente
Secondo me è corretto
Il problema è che non riesco a inquadrare la serie, cioè:
$sum_(k=0)^(infty)1/sqrt(n^2+k)$ è l'unica che mi viene
In poche parole sarebbe una successione del tipo $a_k$ con $n$ fissato.
Il problema è che mi puzza il fatto che ci il termine quadratico rimanga uguale e che la somma si fermasse a $3n$. Magari sto elucubrando inutilmente
@anto
Aspettavo proprio che gli dessi una "sistemata" per renderla "seria" ...
Cordialmente, Alex
Aspettavo proprio che gli dessi una "sistemata" per renderla "seria" ...
Cordialmente, Alex
Va bene mi sono convinto e ho contrattato per una rappresentazione convincente:
$lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(3n)1/sqrt(n^2+k)$
Ora il mio ragionamento, Alex, ricalca paro paro il tuo.
Noto che $1/sqrt(n^2+3n)leq1/sqrt(n^2+k)leq1/sqrt(n^2),forallk=0,...,3n$
Inoltre le disuguaglianze sono strette per ogni $kne0,3n$
Dunque $sum_(k=0)^(3n)1/sqrt(n^2+3n)
Da cui $(3n+1)/sqrt(n^2+3n)
E mandando tutto a limite si ottiene $3leqlim_(n->+infty)sum_(k=0)^(3n)1/sqrt(n^2+k)leq3$
Dovrebbe reggere
$lim_(n->+infty)sum_(k=0)^(3n)1/sqrt(n^2+k)$
Ora il mio ragionamento, Alex, ricalca paro paro il tuo.
Noto che $1/sqrt(n^2+3n)leq1/sqrt(n^2+k)leq1/sqrt(n^2),forallk=0,...,3n$
Inoltre le disuguaglianze sono strette per ogni $kne0,3n$
Dunque $sum_(k=0)^(3n)1/sqrt(n^2+3n)
Da cui $(3n+1)/sqrt(n^2+3n)
E mandando tutto a limite si ottiene $3leqlim_(n->+infty)sum_(k=0)^(3n)1/sqrt(n^2+k)leq3$
Dovrebbe reggere
Bravo, bel lavoro!
Dai che, vista così, è anche proprio carina ... ... e sembra anche facile ... bravo
Ciao, Alex
Dai che, vista così, è anche proprio carina ...
... e sembra anche facile ... bravo Ciao, Alex
Grazie, mi piace parecchio in effetti.
Mi sapeva troppo di equivoco scritta in quel modo: lo si poteva scambiare facile per $0$.
[ot]stavolta niente contestazioni sul 'paro paro'?
Sinceramente non mi sembra esercizio da superiori comunque.[/ot]
Mi sapeva troppo di equivoco scritta in quel modo: lo si poteva scambiare facile per $0$.
[ot]stavolta niente contestazioni sul 'paro paro'?
Sinceramente non mi sembra esercizio da superiori comunque.[/ot]
Grandeee. Ci ero arrivato a vederlo come limite della sommatora tra 0 e 3n, ma non ci avevo pensato al poter usare il "teorema del confronto". Grazie a tutti.
"anto_zoolander":
[ot]stavolta niente contestazioni sul 'paro paro'?
[ot]In che senso?
Anch'io non credo sia da "superiori" ...[/ot]
"axpgn":
[ot]In che senso?
Anch'io non credo sia da "superiori" ...[/ot]
[ot]quando scrivevo qualcosa in palermitano, chiedevi spiegazioni
Anche perché è il limite di una somma parziale piuttosto strana....[/ot]
Veramente "paro paro" forse non sarà italiano, ma lo diciamo anche in veneto, quindi non è "palermitano stretto".
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