Aiuto limite
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... +to+pi%2F4
mi servirebbe una mano con questo limite purtroppo non riesco a risolverlo in nessun modo consigli?
mi servirebbe una mano con questo limite purtroppo non riesco a risolverlo in nessun modo consigli?
Risposte
Con la sostituzione $x = t + \pi/4$ il limite diventa $lim_(t -> 0)(sin(t+\pi/4)-cos(t+\pi/4))/tan(-t/2)$. Da qui riesci a continuare?
scusami ma cosa cambia una volta scritto in questo modo?
Cambia che ora al numeratore puoi usare delle identità e fare delle semplificazioni:
$lim_(t -> 0) -(sqrt(2)/2 sin(t) + sqrt(2)/2 cos(t) - sqrt(2)/2 cos(t) + sqrt(2)/2 sin(t))/(tan(t/2)) = lim_(t -> 0)-(sqrt(2) sin(t))/(tan(t/2))$. Da qui il limite è molto semplice.
$lim_(t -> 0) -(sqrt(2)/2 sin(t) + sqrt(2)/2 cos(t) - sqrt(2)/2 cos(t) + sqrt(2)/2 sin(t))/(tan(t/2)) = lim_(t -> 0)-(sqrt(2) sin(t))/(tan(t/2))$. Da qui il limite è molto semplice.
Oppure così ...
Nota che (formule di sottrazione per il seno)
$sin(x)-cos(x)=sqrt(2)sin(x-pi/4)$
e che (formule parametriche), da
$sin(alpha)=(2 tan(alpha/2))/(1+tan^2(alpha/2))$,
si ottiene che
$sin(x-pi/4)=(2 tan((x-pi/4)/2))/(1+tan^2((x-pi/4)/2))=(2 tan(x/2-pi/8))/(1+tan^2(x/2-pi/8))$.
Per cui
$(sin(x)-cos(x))/tan(pi/8-x/2)=(sqrt(2)sin(x-pi/4))/tan(pi/8-x/2)=-sqrt(2)sin(x-pi/4)/tan(x/2-pi/8)=$
$-sqrt(2)(2 tan(x/2-pi/8))/(1+tan^2(x/2-pi/8))*1/tan(x/2-pi/8)=-(2sqrt(2))/(1+tan^2(x/2-pi/8))$
e
$lim_(x->pi/4)(sin(x)-cos(x))/tan(pi/8-x/2)=lim_(x->pi/4)(-2sqrt(2))/(1+tan^2(x/2-pi/8))=-2sqrt(2)$.
Nota che (formule di sottrazione per il seno)
$sin(x)-cos(x)=sqrt(2)sin(x-pi/4)$
e che (formule parametriche), da
$sin(alpha)=(2 tan(alpha/2))/(1+tan^2(alpha/2))$,
si ottiene che
$sin(x-pi/4)=(2 tan((x-pi/4)/2))/(1+tan^2((x-pi/4)/2))=(2 tan(x/2-pi/8))/(1+tan^2(x/2-pi/8))$.
Per cui
$(sin(x)-cos(x))/tan(pi/8-x/2)=(sqrt(2)sin(x-pi/4))/tan(pi/8-x/2)=-sqrt(2)sin(x-pi/4)/tan(x/2-pi/8)=$
$-sqrt(2)(2 tan(x/2-pi/8))/(1+tan^2(x/2-pi/8))*1/tan(x/2-pi/8)=-(2sqrt(2))/(1+tan^2(x/2-pi/8))$
e
$lim_(x->pi/4)(sin(x)-cos(x))/tan(pi/8-x/2)=lim_(x->pi/4)(-2sqrt(2))/(1+tan^2(x/2-pi/8))=-2sqrt(2)$.
Anche io avevo pensato a questa strada, però come puoi notare è un pochettino più laboriosa, con la sostituzione si fa subito...
grazie ad entrambi non avevo proprio pensato a questa via 
ps avrei un altro piccolo quesito
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3+%2B3x+%2B4x%5E2%29%2F%28x%5E4-2x%5E3%29+x+to++0
come mai tende a - inf?
mettendo $x$ in evidenza sopra e $x^3$ sotto e semplifacando
mi resta
$(x^2 + 4x+ 3)/((x^2)(x-2))$
come faccio a sapere in questo caso se tendo a + o a - infinito?
grazie ancora per l'attenzioen
ps avrei un altro piccolo quesito
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3+%2B3x+%2B4x%5E2%29%2F%28x%5E4-2x%5E3%29+x+to++0
come mai tende a - inf?
mettendo $x$ in evidenza sopra e $x^3$ sotto e semplifacando
mi resta
$(x^2 + 4x+ 3)/((x^2)(x-2))$
come faccio a sapere in questo caso se tendo a + o a - infinito?
grazie ancora per l'attenzioen
Per favore puoi rendere comprensibile la domanda? Di che funzione si tratta e il limite per $x$ che tende a cosa?
sistemato il link
Se studi il segno della funzione
$f(x)=(x^3 +3x +4x^2)/(x^4-2x^3)=((x+1)(x+3))/(x^2(x-2))$,
trovi che:
per $x<-3$, $f(x)<0$,
per $-30$,
per $-1
Quindi intorno a $0$ la funzione è $<0$.
Perciò
$lim_(x->0)(x^3 +3x +4x^2)/(x^4-2x^3)=lim_(x->0)((x+1)(x+3))/(x^2(x-2))=-oo$.
$f(x)=(x^3 +3x +4x^2)/(x^4-2x^3)=((x+1)(x+3))/(x^2(x-2))$,
trovi che:
per $x<-3$, $f(x)<0$,
per $-3
per $-1
Quindi intorno a $0$ la funzione è $<0$.
Perciò
$lim_(x->0)(x^3 +3x +4x^2)/(x^4-2x^3)=lim_(x->0)((x+1)(x+3))/(x^2(x-2))=-oo$.
Grazie mille veramente gentile è sopratutto chiarissima , non avevo mai pensato a questo metodo di risoluzione , che stupido che sono in questo modo si velocizzano tantissimo i calcoli dei limiti nello studio di funzione 
potrei volendo anche sostituire 0+ e 0- e cosi regolarmi?
potrei volendo anche sostituire 0+ e 0- e cosi regolarmi?
@ peppozzolo. L'articolo 3.6 del regolamento dice fra l'altro "Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini" e tu lo stai violando; inoltre l'uso del compilatore è obbligatorio è obbligatorio dopo 30 messaggi e tu ne sei oltre.
Premendo il tasto Cita sul messaggio di chiaraotta vedrai come ha fatto per scrivere le formule: in futuro fai altrettanto, pena il blocco per 24 ore circa.
Premendo il tasto Cita sul messaggio di chiaraotta vedrai come ha fatto per scrivere le formule: in futuro fai altrettanto, pena il blocco per 24 ore circa.
scusatemi e che ormai sono fruitore di tanti forum e dimentico di leggere il regolamento , grazie mille e scusate le mie mancanze
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