Aiuto integrale

[andar9896]

Salve a tutti, avrei problemi con la risoluzione di questo integrale:

$int 1/(3+2sen(x))dx$

ho provato a svolgerlo con le formule parametriche ma non ne vengo a capo
Grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Anch'io l'avrei svolto con le formule parametriche; in questo modo si dovrebbe avere a che fare con una funzione integranda costituita da un rapporto tra una costante e un trinomio di secondo grado, quindi la cosa dovrebbe essere gestibile senza troppi problemi.

L'unica "seccatura" consiste nel fatto che il trinomio di secondo grado che compare al denominatore della funzione integranda, espressa nella nuova variabile, non ammette radici reali, ma questo è un ostacolo superabile grazie a qualche conto.

Quale espressione ti risulterebbe, esattamente?

Saluti.

[andar9896]

Sono arrivato a questo punto:
posto $t=tan (x/2)$ allora ottengo
$2int 1/(3t^2+4t+3) dt$
aggiungendo e sottraendo $5/3$ arrivo a
$2int 1/(3t^2+4t+4/3+5/3) dt = 2int 1/((sqrt3 t+2/sqrt3)^2+5/3) dt$
ponendo
$s=sqrt3t+2/sqrt3 rarr dt=(ds)/sqrt3$

allora : $2/sqrt3 int 1/(s^2+5/3) ds$

pensavo di intraprendere ora la strada dell'arcotangente, ma mi perdo nella marea di calcoli è la strada giusta almeno?

[Sk_Anonymous]

"andar9896":
pensavo di intraprendere ora la strada dell'arcotangente, ma mi perdo nella marea di calcoli è la strada giusta almeno?

Si, è la strada giusta.
Lo so, i calcoli non sono molto comodi, ma, almeno, così si risolve tutto.

Ovviamente non potrei scommettere con certezza che questa sia l'unica strada percorribile, ma io, personalmente, non ne conosco altre.

Saluti.

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":Sono arrivato a questo punto:
posto $t=tan (x/2)$ allora ottengo
$2int 1/(3t^2+4t+3) dt$

allora partiamo da qui...la strada dell'arcotangente è giustissima e i calcoli sono pochi e semplici...occorre solo farli in maniera ordinata...te li posto tutti così vedrai come è semplice (fin qui hai lavorato bene...poi ti sei un po' perso ):

moltiplichiamo e dividiamo tutto per 3:

$6int1/(9t^2+12t+9)dt=6int1/((3t+2)^2+5)dt=6/5int1/(1+((3t+2)/sqrt(5))^2)dt=6/5sqrt(5)/3int1/(1+((3t+2)/sqrt(5))^2)d((3t+2)/sqrt(5))=2/sqrt(5)arctan((3t+2)/sqrt(5))+C$

ti lascio l'onore di uccidere l'integrale con la sostituzione finale....se hai domande sono qui!

[andar9896]

Alla fine, con calma e ordine, sono riuscito a risolverlo con l'ennesima sostituzione...ma quanto era facile moltiplicare per 3! Non mi è priprio venuto in mente in ogni caso grazie infinite!

[Sk_Anonymous]

Benissimo.

Saluti.

[Lo_zio_Tom]

"andar9896":...ma quanto era facile moltiplicare per 3!

[mazzarri1]

all'università mi avevano insegnato che per risolvere gli integrali non basta conoscere solo le regole di integrazione... bisogna avere "fiuto" guardare oltre, immaginarsi di andare per una strada che potrebbe portare a una soluzione... è così!!!

[donald_zeka]

all'università mi avevano insegnato che per risolvere gli integrali non basta conoscere solo le regole di integrazione... bisogna avere "fiuto" guardare oltre, immaginarsi di andare per una strada che potrebbe portare a una soluzione... è così!!!

Derivare è un mestiere, integrare è un'arte!

[andar9896]

Già, quando la matematica si combina con la fantasia...per questo li adoro!

[mazzarri1]

"Vulplasir": Derivare è un mestiere, integrare è un'arte!