Aiuto esercizio parabole

[driver_458]

Dato il fascio di parabole $y=ax^2+(1-4a)x-(1-4a)$,determinare:
1)i punti base del fascio.
2)il luogo dei vertici delle diverse parabole del fascio.
3)le tangenti alle parabole del fascio nei punti base del fascio.Dal risultato ottenuto che cosa si può dedurre?
4)la relazione che deve sussistere tra i parametri a1 e a2 di due parabole del fascio affinchè intercettino corde congruenti sulla retta $y=3-x$.

I quesiti 1 e 2 li ho risolti. Anche il 3, si ottiene un'unica tangente Y=x-1, ciò cosa implica?

Il 4 come si risolve ? Devo trovare i punti di intersezione della retta con il fascio e poi...?

[driver_458]

il risultato del numero 4 è $a1+a2=0$

[misanino]

Comincia a trovare i punti di intersezione di una generica parabola del fascio con la retta $y=x-3$ e scrivi qui il risultato che ottieni

[driver_458]

si, così avevo già fatto e viene il punto baso $(2;1)$ e $((2a-2)/a;3-(2a-2)/a)$ e poi mi calcolo la distanza fra i due punti e ottengo che essa è $8/(a^2)$
poi che devo fare? $8/(a1^2)=8/(a2^2)

poi applicando le radici dovrebbe venire $+-a1=+-a2$ da cui $a1=a2$ oppure $a1=-a2$

ho fatto bene?


Per quanto riguarda il terzo quesito, non ho capito che cosa si deduce dal fatto che la tangente è $y=x-1$

[misanino]

"caseyn27":si, così avevo già fatto e viene il punto baso $(2;1)$ e $((2a-2)/a;3-(2a-2)/a)$ e poi mi calcolo la distanza fra i due punti e ottengo che essa è $8/(a^2)$
poi che devo fare? $8/(a1^2)=8/(a2^2)

poi applicando le radici dovrebbe venire $+-a1=+-a2$ da cui $a1=a2$ oppure $a1=-a2$

ho fatto bene?

Hai assolutamente fatto bene.
Bravo.
Ma questa è proprio la soluzione che ti è stata data.
Infatti se $a_1=a_2$ allora abbiamo una sola parabola e quindi la cosa è banale e non viene presa in considerazione.
Se invece $a_1=-a_2$ allora $a_1+a_2=0$

[driver_458]

ed il quesito numero 3, che cosa implica il fatto che la tangente è $y=x-1$?

[misanino]

"caseyn27":ed il quesito numero 3, che cosa implica il fatto che la tangente è $y=x-1$?

Quali sono i punti base del fascio che hai ottenuto?

[driver_458]

due punti coincidenti in (2;1), appartenenti alla tangente.

[misanino]

"caseyn27":due punti coincidenti in (2;1), appartenenti alla tangente.

Effettivamente hai ragione.
Non mi sembra che si possano trarre chissà quali conclusioni.
Mi viene da dire che siccome trovi una sola tangente, allora tutte le parabole del fascio saranno tangenti tra di loro nel punto (2,1).
In realtà però questo si poteva dedurre subito notando che c'erano 2 punti base coincidenti.
Boh..
Non mi viene in mente altro.

[@melia]

Si ottiene un'unica tangente $y=x-1$, ciò cosa implica?

Essendo la retta tangente a tutte le parabole del fascio (la sua equazione non di pende da $a$), si tratta del fascio di parabole passante per $(2;1)$ e tangenti alla retta $y=x-1$.
La deduzione che si trattasse del fascio di parabole passante per un punto doppio metteva già sulla strada dell'unica tangente, ma adesso c'è anche l'equazione della tangente.