Aiuto Equazione dell’iperbole
Ciao a tutti, il testo del quesito recita così: sia γ l’iperbole riferita al centro e agli assi, tangente nel punto A(4;(2sqrt(3))/3) alla retta r di equazione 2x-sqrt(3)y-6=0.
Scrivi l’equazione di γ. [γ: x^2-3y^2-12=0]
Ho pensato di utilizzare la formula di sdoppiamento “al contrario” ma non riesco ad arrivare al -12, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie mille
Scrivi l’equazione di γ. [γ: x^2-3y^2-12=0]
Ho pensato di utilizzare la formula di sdoppiamento “al contrario” ma non riesco ad arrivare al -12, qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie mille
Risposte
Ciao Steely, benvenuto nel forum.
Da regolamento, dovresti provare a risolverlo, quindi postare i tuoi calcoli per vedere dove ti intoppi.
Dovresti anche imparare ad usare l'editor per scrivere le formule.
Ma visto che è il tuo primo messaggio, ti propongo un metodo alternativo (assumendo che tu non sappia ancora cos'è una derivata).
La forma canonica dell'iperbole è $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
Quindi abbiamo bisogno di due condizioni per impostare un sistema a due equazione da risolvere e trovare $a^2$ e $b^2$.
La prima condizione la otteniamo dal passaggio per il punto dato, quindi $16/a^2-4/(3b^2)=1$
Per la seconda condizione, possiamo sfruttare il fatto che sappiamo che la retta e la parabola si intersecano in un solo punto. Sostituiamo quindi la retta $y=2/sqrt(3)x-2sqrt(3)$ nella forma canonica e otteniamo l'equazione di secondo grado $(3b^2-4a^2)x^2+24a^2x-(36a^2+3a^2b^2)=0$
La formula risolutiva di un'equazione di secondo grado è $x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ ma per ipotesi dobbiamo avere un solo punto di intersezione, quindi poniamo il $Delta=0$ per ottenere due radici coincidenti.
Pertanto la formula diventa $x=-b/(2a)$ dove:
$x=4$ (l'ascissa del nostro punto), $-b=-24a^2$ e infine $2a=2(3b^2-4a^2)$
(perdona se sto usando le lettere a e b con significati diversi, ma sono certo che non è un problema per te).
Ovvero $(-24a^2)/(2(3b^2-4a^2))=4 rArr a^2=3b^2$ che è la nostra seconda condizione.
Messa a sistema con la prima, si ottiene che $a^2=12$ e $b^2=4$ pertanto la nostra iperbole è:
$x^2/12-y^2/4=1$ oppure $x^2-3y^2-12=0$
Da regolamento, dovresti provare a risolverlo, quindi postare i tuoi calcoli per vedere dove ti intoppi.
Dovresti anche imparare ad usare l'editor per scrivere le formule.
Ma visto che è il tuo primo messaggio, ti propongo un metodo alternativo (assumendo che tu non sappia ancora cos'è una derivata).
La forma canonica dell'iperbole è $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
Quindi abbiamo bisogno di due condizioni per impostare un sistema a due equazione da risolvere e trovare $a^2$ e $b^2$.
La prima condizione la otteniamo dal passaggio per il punto dato, quindi $16/a^2-4/(3b^2)=1$
Per la seconda condizione, possiamo sfruttare il fatto che sappiamo che la retta e la parabola si intersecano in un solo punto. Sostituiamo quindi la retta $y=2/sqrt(3)x-2sqrt(3)$ nella forma canonica e otteniamo l'equazione di secondo grado $(3b^2-4a^2)x^2+24a^2x-(36a^2+3a^2b^2)=0$
La formula risolutiva di un'equazione di secondo grado è $x=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ ma per ipotesi dobbiamo avere un solo punto di intersezione, quindi poniamo il $Delta=0$ per ottenere due radici coincidenti.
Pertanto la formula diventa $x=-b/(2a)$ dove:
$x=4$ (l'ascissa del nostro punto), $-b=-24a^2$ e infine $2a=2(3b^2-4a^2)$
(perdona se sto usando le lettere a e b con significati diversi, ma sono certo che non è un problema per te).
Ovvero $(-24a^2)/(2(3b^2-4a^2))=4 rArr a^2=3b^2$ che è la nostra seconda condizione.
Messa a sistema con la prima, si ottiene che $a^2=12$ e $b^2=4$ pertanto la nostra iperbole è:
$x^2/12-y^2/4=1$ oppure $x^2-3y^2-12=0$
Se vuoi usare le formule di sdoppiamento, prendi l'equazione generale dell'iperbole
$ x^2/a^2-y^2/b^2= +-1 $
sostituisci le formule di sdoppiamento con il punto A
$(4x)/a^2-(2sqrt3 y)/(3b^2)= +-1$ Nella retta tangente $2x-sqrt(3)y-6=0$ divido per 6 in modo da avere a secondo membro $1$
$x/3-sqrt(3)/6y=1$
Osservo subito che il coefficiente della $x$ in entrambe le equazioni è positivo, quindi anche il secondo membro deve essere positivo e tra le due forme dell'iperbole devo prendere $(4x)/a^2-(2sqrt3 y)/(3b^2)=1$
A questo punto basta uguagliare i coefficienti della $x$ e della $y$ (i termini noti sono uguali)
$4/a^2=1/3 -> a^2=12$
$-(2sqrt3 )/(3b^2)= -sqrt(3)/6 -> b^2=4$
L'equazione dell'iperbole è quindi $ x^2/12-y^2/4= 1 $
$ x^2/a^2-y^2/b^2= +-1 $
sostituisci le formule di sdoppiamento con il punto A
$(4x)/a^2-(2sqrt3 y)/(3b^2)= +-1$ Nella retta tangente $2x-sqrt(3)y-6=0$ divido per 6 in modo da avere a secondo membro $1$
$x/3-sqrt(3)/6y=1$
Osservo subito che il coefficiente della $x$ in entrambe le equazioni è positivo, quindi anche il secondo membro deve essere positivo e tra le due forme dell'iperbole devo prendere $(4x)/a^2-(2sqrt3 y)/(3b^2)=1$
A questo punto basta uguagliare i coefficienti della $x$ e della $y$ (i termini noti sono uguali)
$4/a^2=1/3 -> a^2=12$
$-(2sqrt3 )/(3b^2)= -sqrt(3)/6 -> b^2=4$
L'equazione dell'iperbole è quindi $ x^2/12-y^2/4= 1 $
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