AIUTO ENTRATE PER FAVORE

[mateita]

1° problema
2 angoli alla circonferenza sono l'uno congruente a 5/3 dell'altro e la loro differenza è 24°,17'. quanto sono ampi i loro corrispondenti angoli al centro?
il risultato deve venire: 72°,51' ; 121°,25'
2° problema
la diagonale AC del quadrilatero ABCD(la figura è allegata qui), i cui vertici appartengono a una circonferenza, è un diametro. sapendo che gli angoli al centro DOA E AOB misurano rispettivamente 41°e 92', calcola l'ampiezza degli angoli del quadrilatero.
il risultato deve venire: 66°,30'; 113°,30'; 90°
RINGRAZIO IN ANTICIPO

[strangegirl97]

1° problema
Il problema ci dice che uno dei due angoli alla circonferenza è i 5/3 dell'altro. Questa relazione si può scrivere anche sotto forma di proporzione:

[math]A\hat{V}B : C\hat{P}D = 5 : 3[/math]

dove

[math]A\hat{V}B[/math]

e

[math]C\hat{P}D[/math]

sono i due angoli alla circonferenza.

Il problema ci da' anche la differenza fra i due angoli, perciò noi possiamo applicare la proprietà dello scomporre, secondo cui in una proporzione la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo come quella tra il terzo e il quarto termine sta al terzo. Analogamente la differenza tra il primo e il secondo termine sta al secondo come quella tra il terzo e il quarto termine sta al quarto.

[math](A\hat{V}B - C\hat{P}D) : A\hat{V}B = (5 - 3) : 5\\
24^\circ 17' : A\hat{V}B = 2 : 5[/math]

Analogamente:

[math](A\hat{V}B - C\hat{P}D) : C\hat{P}D = (5 - 3) : 3\\
24^\circ 17' = 2 : 3[/math]

Risolvi le proporzioni ed otterrai le ampiezze dei due angoli alla circonferenza. Per calcolare quelle degli angoli al centro corrispondenti devi semplicemente raddoppiare le ampiezze degli angoli alla circonferenza. Infatti un angolo alal circonferenza è congruente alla metà dell'angolo al centro corrispondente.

2° problema
La diagonale AC divide il quadrilatero in due triangoli. Essi sono rettangoli, poiché la loro ipotenusa è il diametro della circonferenza e quindi il loro angolo retto è l'angolo alla circonferenza corrispondente alla semicirconferenza (che si può considerare come un angolo al centro di 180°). Di conseguenza gli angoli

[math]\hat{D}[/math]

e

[math]\hat{B}[/math]

sono retti.
Osservando la figura puoi notare che sono stati tracciati i raggi che uniscono il centro con i vertici del quadrilatero. In tal modo esso è stato diviso in quattro triangoli isosceli, aventi come basi i lati del quadrilatero e come lati obliqui i raggi. Il problema afferma che l'angolo

[math]D\hat{O}A[/math]

è ampio 41°. Quest'angolo oltre ad essere un angolo al centro è anche l'angolo al vertice del triangolo DAO. Nei triangoli isosceli gli angoli alla base sono congruenti, e come in tutti i triangoli la somma degli angoli interni è uguale a 180°. Quindi, togliendo l'ampiezza dell'angolo al vertice dalla somma degli angoli interni e dividendo la differenza per 2 si ricava l'ampiezza di un angolo alla base (io ho calcolato l'ampiezza di

[math]D\hat{A}O[/math]

).

[math]D\hat{A}O = (S_i - D\hat{O}A) : 2 = \\
= (180^\circ - 41^\circ) : 2 = 139^\circ : 2 = 69^\circ 30'[/math]

Dopodiché, considerando il triangolo rettangolo ADC e ricordandoti che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°, calcoli l'ampiezza dell'angolo

[math]A\hat{C}D[/math]

.

Applichi un procedimento analogo ai triangoli ABO e ABC. Alla fine, per ottenere le ampiezze degli angoli del quadrilatero, sommi quelle dei triangoli rettangoli che li costituiscono, (per esempio, per ottenere l'ampiezza di

[math]\hat{A}[/math]

sommi quelle di

[math]D\hat{A}O[/math]

e

[math]O\hat{A}B[/math]

).
Spero di esserti stata d'aiuto. :)
Ciao! :hi