Aiuto disequazione

[lucavb]

Ciao,

ho bisogno di capire dove sbaglio questa disequazione da scuola media

$ log [2,1-sqrt(x-2)]<3 $ (ovvero logaritmo in base 2. Come si fa a scrivere la base ad un logaritmo?)

CE:

l'argomento del logaritmo maggiore di zero: $ 1-sqrt(x-2)>0 $, assieme all'argomento della radice maggiore e / o uguale a zero: $ x-2>=0 $

ottengo $ 2<=x<3 $ ?

poi risolvo: $ 2^log[2,1-sqrt(x-2)]<2^3 $ --> $ 1-sqrt(x-2) < 8 $ --> $ -sqrt(x-2)<7 $ --> $ sqrt(x-2)> -7 $ e adesso come proseguo? cosi $ x-2 > 49 $ oppure $ sqrt(x-2)+7 > 0 $ --> $ x-2+49 > 0 $ --> x > -47 ? cosa mi perdo?! perdonate la mia ignoranza!

Grazie in anticipo!

[Gi81]

$log_2(1-sqrt(x-2))<3$ si scrive log_2(1-sqrt(x-2))<3

I calcoli che hai fatto vanno tutti bene fino a qui: $sqrt(x-2)> -7$
Se $x in [2,3)$, come ci dicono le condizioni di esistenza, allora il primo membro della disuguaglianza è sempre positivo (o, al limite, nullo per $x=2$)
Il secondo membro, invece, è $-7$, dunque una quantità negativa. Pertanto cosa possiamo dire?

[lucavb]

Pertanto cosa possiamo dire?

mmm... che la disequazione per valori appartenenti al CE è sempre verificata?!!! e il risultato finale (come è segnato sulla soluziona) è $ 2<= x < 3 $ !?

ma quindi non serve semplificarla ulteriormente isolando la $ x $ ?

[Gi81]

Esattamente.
In generale, se hai $f(x)>g(x)$, e sai che $f(x)>=0$ e $g(x)<0$ hai già finito:
puoi subito dire che è vera per tutti i valori appartenenti alle C.E.

[lucavb]

"Gi8":Esattamente.
In generale, se hai $f(x)>g(x)$, e sai che $f(x)>=0$ e $g(x)<0$ hai già finito:
puoi subito dire che è vera per tutti i valori appartenenti alle C.E.

Ottimo, mille grazie!

[Gi81]

Prego