Aiuto dimostrazioni di geometria!

[gazasgamer]

Buongiorno a tutti, qualcuno mi aiuta con questi problemi? basta anche solo uno. grazie

in un triangolo equilatero ABC sia P il punto di intersezione delle bisettrici di A^ e di C^. dimostra che ap=pc

sia abc un triangolo isoscele di base AB considera un punto Pinterno al triangolo ABC tale che PA^C=PB^C. Dimostra nell'ordine che
il triangolo ABP è isoscele sulla base AB
P appartiene alla bisettrice di AC^B

[Studente Anonimo]

Ciao,

1) Consideriamo l'angolo PAC. Esso è uguale a 30°, poichè è metà dell'angolo
CAB=60°del triangolo equilatero ABC.
Lo stesso vale per l'angolo PCA.
Quindi IL triangolo APC ha due angoli uguali, pertanto è isoscele.
Dunque AP=PC.

2)
Il triangolo ABP è isoscele sulla base AB.
Abbiamo quindi che:
l'angolo CA^B≅ angolo AB^C (1)
abbiamo anche che,gli angoli:
CA^P ≅ PB^^C (2)
sottraendo la (1) e la (2),si ha:
CA^B-CA^P≅AB^C-PB^C
Quindi gli angoli alla base del triangolo ABP sono congruenti, perciò triangolo ABP è isoscele su AB.

Uniamo P con C.
Dalla dimostrazione precedente risulta che:
AP ≅ BP
Consideriamo i triangoli APC e BPC. Essi hanno:
AP ≅ BP
AC ≅ BC per ipotesi
CA^P ≅ CB^P per ipotesi

I due triangoli considerati hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo compreso e sono quindi congruenti per il primo criterio.
Hanno ordinatamente congruenti tutti gli altri elementi e in particolare risulta
AC^P ≅ BC^P
Quindi P appartiene alla bisettrice di AC^B

saluti :-)